12. Méthodes semi-classiques
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12.2.3 Intégrale de chemin de Feynman
En substituant au temps euclidien τ le temps ordinaire t, on passe du
propagateur euclidien (12.34) au propagateur quantique K
K(x b ,t b |x a ,t a )=x|e
−iH(t b −ta)/ |x a
(12.43)
Compte tenu de
dτ = idt
d
dτ
= −i
d
dt
la représentation de K sous forme d’une intégrale de chemin se déduit immédiatement de (12.37)
K(x b ,t b |x a ,t a )=
x(t b )=x b
x(ta)=xa
Dx(t)exp
i
t b
ta
1
2
m
dx
dt
2
− V (x(t))
dt
(12.44)
où Dx(t) doit se comprendre comme dans (12.30)
x(t b )=x b
x(ta)=xa
Dx(t) = lim
ε→0
m
2iπε
n−1
j=1
dx j
m
2iπε
(12.45)
La quantité qui apparaît dans l’intégrand de l’exponentielle de (12.44) est le
lagrangien L de la particule (on notera le signe moins devant le potentiel !)
L =
1
2
m
dx
dt
2
− V (x(t))
(12.46)
dont l’intégrale sur le temps est l’action S
S[x(t)] =
t b
ta
1
2
m
dx
dt
2
− V (x(t))
dt
(12.47)
On peut donc récrire K sous la forme
K(x b ,t b |x a ,t a )=
x(t b )=x b
x(ta)=xa
Dx(t) e
iS[x(t)]/
(12.48)
où S[x(t)] est l’action classique
7 pour le chemin x(t) :u nc h e m i n
x(t) est donc affecté d’un poids exp(iS/) dans l’intégrale de chemin.
L’action correspondant à un élément de chemin x j → x j+1 de la
figure 12.1 est
∆S =
1
2
m
(x j+1 − x j )
2
ε
− εV (x j )
7. S est une fonctionnelle du chemin. La notation entre crochets S[x(t)] indique que l’on
a affaire à une fonctionnelle de x(t).