498
Physique quantique : Exercices et applications
qui peut être traitée de façon mathématiquement rigoureuse. Il est instructif
de vérifier directement (exercice 12.7.5) que K E (x, τ |x 0 ,τ 0 ) obéit à l’équation
de Schrödinger en temps euclidien
∂K E
∂τ
= −
−
2
2m
∂
2
∂x 2 + V
K E = −HK E
(12.38)
L’équation (12.37) permet d’obtenir la fonction de partition à la température T d’une particule quantique de hamiltonien H sous forme d’intégrale
de chemin. En effet, cette fonction de partition Z(β), β =1/k B T , est donnée
par une trace
Z(β)=T re
−βH =
dxx|e
−βH |x
(12.39)
d’où l’expression de Z(β) sous forme d’intégrale de chemin
6
Z(β)=
x(0)=x(β)
Dx(τ )exp
−
1
β
0
1
2
m
dx
dτ
2
+ V (x(τ ))
dτ
(12.40)
L’intégrale porte sur tous les chemins périodiques : x(0) = x(β). Comme
l’opérateur statistique de l’ensemble canonique est ρ =e x p ( −βH)/Z (β),l e
propagateur euclidien est un élément de matrice ρ(x b ,x a ; β) de l’opérateur
statistique dans la représentation x,a uf a c t e u rZ(β) près
x b |e
−βH |x a = Z(β)ρ(x b ,x a ; β)
(12.41)
Enfin, on peut donner une interprétation du propagateur euclidien cette
fois en termes de mécanique statistique classique,enconsidéran tx(τ ) comme
un champ aléatoire classique, le poids statistique de Boltzmann de la configuration x(τ ) étant donné par (12.37). La limite τ a →−∞, τ b → +∞ conduit à
une remarque intéressante. En introduisant l’opérateur X(τ ) dans la “représentation de Heisenberg euclidienne”
X H (τ )=e
Hτ/ X e
−Hτ/
(12.42)
et en étudiant les éléments de matrice du produit X H (τ 1 )X H (τ 2 ),o np e u t
montrer (exercice 12.7.2) que la longueur de corrélation du système classique
est directement liée à la différence entre le niveau fondamental E 0 et le premier niveau excité E 1 du système quantique associé. C’est là un exemple de
correspondance remarquable entre une propriété d’un problème de mécanique
statistique et une propriété d’un problème de mécanique quantique associé.
6. Cette équation est fondamentale en mécanique statistique quantique. Elle est, par
exemple, à la base de la méthode numérique dite de Monte-Carlo quantique, exposée par
exemple dans Le Bellac et al. [2004], chapitre 7.
Physique quantique : Exercices et applications
qui peut être traitée de façon mathématiquement rigoureuse. Il est instructif
de vérifier directement (exercice 12.7.5) que K E (x, τ |x 0 ,τ 0 ) obéit à l’équation
de Schrödinger en temps euclidien
∂K E
∂τ
= −
−
2
2m
∂
2
∂x 2 + V
K E = −HK E
(12.38)
L’équation (12.37) permet d’obtenir la fonction de partition à la température T d’une particule quantique de hamiltonien H sous forme d’intégrale
de chemin. En effet, cette fonction de partition Z(β), β =1/k B T , est donnée
par une trace
Z(β)=T re
−βH =
dxx|e
−βH |x
(12.39)
d’où l’expression de Z(β) sous forme d’intégrale de chemin
6
Z(β)=
x(0)=x(β)
Dx(τ )exp
−
1
β
0
1
2
m
dx
dτ
2
+ V (x(τ ))
dτ
(12.40)
L’intégrale porte sur tous les chemins périodiques : x(0) = x(β). Comme
l’opérateur statistique de l’ensemble canonique est ρ =e x p ( −βH)/Z (β),l e
propagateur euclidien est un élément de matrice ρ(x b ,x a ; β) de l’opérateur
statistique dans la représentation x,a uf a c t e u rZ(β) près
x b |e
−βH |x a = Z(β)ρ(x b ,x a ; β)
(12.41)
Enfin, on peut donner une interprétation du propagateur euclidien cette
fois en termes de mécanique statistique classique,enconsidéran tx(τ ) comme
un champ aléatoire classique, le poids statistique de Boltzmann de la configuration x(τ ) étant donné par (12.37). La limite τ a →−∞, τ b → +∞ conduit à
une remarque intéressante. En introduisant l’opérateur X(τ ) dans la “représentation de Heisenberg euclidienne”
X H (τ )=e
Hτ/ X e
−Hτ/
(12.42)
et en étudiant les éléments de matrice du produit X H (τ 1 )X H (τ 2 ),o np e u t
montrer (exercice 12.7.2) que la longueur de corrélation du système classique
est directement liée à la différence entre le niveau fondamental E 0 et le premier niveau excité E 1 du système quantique associé. C’est là un exemple de
correspondance remarquable entre une propriété d’un problème de mécanique
statistique et une propriété d’un problème de mécanique quantique associé.
6. Cette équation est fondamentale en mécanique statistique quantique. Elle est, par
exemple, à la base de la méthode numérique dite de Monte-Carlo quantique, exposée par
exemple dans Le Bellac et al. [2004], chapitre 7.