12. Méthodes semi-classiques
497
ce qui conduit à des éléments de matrice
x j+1 |e
−εV /2 e
−εH0/ e
−εV /2 |x j = e
−ε[V (xj+1)+V (xj )]/2 x j+1 |e
−εH0/ |x j
Le second élément de matrice a déjà été évalué, car c’est tout simplement un
propagateur euclidien libre (12.27) avec D = /2m
x j+1 |e
−εH0/ |x j = p(x j+1 ,τ j+1 |x j ,τ j )=
m
2πε
exp
−
m(x j+1 − x j )
2
2ε
et l’on trouve pour K E
K E (x b ,τ b |x a ,τ a )=
m
2πε
n−1
j=1
dx j
m
2πε
× exp
⎡
⎣ −
n−1
j=1
m(x j+1 − x j )
2
2ε
⎤
⎦ exp
⎡
⎣ −
ε
n−1
j=1
V (x j )
⎤
⎦
(12.36)
La présence de x j comme argument de V n’est pas essentielle : ainsi que nous
le verrons dans le § 12.3.2, x j+1 , (x j+1 + x j )/2, ou tout point intermédiaire
entre x j+1 et x j feraient aussi bien l’affaire ; voir également l’exercice 12.7.5.
Comme précédemment, on simplifie l’écriture en passant formellement à une
intégrale de chemin
K E (x b ,τ b |x a ,τ a )=
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )exp
−
1
τ b
τa
1
2
m
dx
dτ
2
+V (x(τ ))
dτ
(12.37)
L’interprétation intuitive de (12.37) est la suivante : dans le calcul du propagateur, chacun des chemins x(τ ) partant de x a au temps euclidien τ a et
arrivant en x b au temps euclidien τ b est affecté du poids statistique
exp
−
1
τ b
τa
H(x(τ ))dτ
et le propagateur s’obtient en sommant sur tous les chemins possibles, compte
tenu des conditions aux limites. Le point clé pour comprendre (12.37) est le
suivant : quel que soit V (x) le comportement aux temps courts du mouvement
de la particule est dominé par la diffusion, (∆x)
2 ∝∆τ pour ∆τ → 0.L a
mesure d’intégration, celle qui définit les chemins dominants dans le calcul de
(12.37) est la mesure de Wiener
Dx(τ )exp
−
1
τ b
τa
1
2
m
dx
dτ
2
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ce qui conduit à des éléments de matrice
x j+1 |e
−εV /2 e
−εH0/ e
−εV /2 |x j = e
−ε[V (xj+1)+V (xj )]/2 x j+1 |e
−εH0/ |x j
Le second élément de matrice a déjà été évalué, car c’est tout simplement un
propagateur euclidien libre (12.27) avec D = /2m
x j+1 |e
−εH0/ |x j = p(x j+1 ,τ j+1 |x j ,τ j )=
m
2πε
exp
−
m(x j+1 − x j )
2
2ε
et l’on trouve pour K E
K E (x b ,τ b |x a ,τ a )=
m
2πε
n−1
j=1
dx j
m
2πε
× exp
⎡
⎣ −
n−1
j=1
m(x j+1 − x j )
2
2ε
⎤
⎦ exp
⎡
⎣ −
ε
n−1
j=1
V (x j )
⎤
⎦
(12.36)
La présence de x j comme argument de V n’est pas essentielle : ainsi que nous
le verrons dans le § 12.3.2, x j+1 , (x j+1 + x j )/2, ou tout point intermédiaire
entre x j+1 et x j feraient aussi bien l’affaire ; voir également l’exercice 12.7.5.
Comme précédemment, on simplifie l’écriture en passant formellement à une
intégrale de chemin
K E (x b ,τ b |x a ,τ a )=
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )exp
−
1
τ b
τa
1
2
m
dx
dτ
2
+V (x(τ ))
dτ
(12.37)
L’interprétation intuitive de (12.37) est la suivante : dans le calcul du propagateur, chacun des chemins x(τ ) partant de x a au temps euclidien τ a et
arrivant en x b au temps euclidien τ b est affecté du poids statistique
exp
−
1
τ b
τa
H(x(τ ))dτ
et le propagateur s’obtient en sommant sur tous les chemins possibles, compte
tenu des conditions aux limites. Le point clé pour comprendre (12.37) est le
suivant : quel que soit V (x) le comportement aux temps courts du mouvement
de la particule est dominé par la diffusion, (∆x)
2 ∝∆τ pour ∆τ → 0.L a
mesure d’intégration, celle qui définit les chemins dominants dans le calcul de
(12.37) est la mesure de Wiener
Dx(τ )exp
−
1
τ b
τa
1
2
m
dx
dτ
2