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Physique quantique : Exercices et applications
de sorte que [(x j+1 − x j )
2 ]
1/2 ∝
√ ε,c eq u ie n t r a î n eq u el ec h e m i nx(τ ) est
une fonction continue, mais non dérivable : on ne peut pas définir la vitesse
d’une particule brownienne. En dépit de cette difficulté, Wiener a pu définir
rigoureusement une mesure (12.31) sur les chemins browniens.
12.2.2 Propagateur euclidien et fonction de partition
Notre objectif est de généraliser (12.31) lorsque l’on transpose au cas euclidien une équation de Schrödinger avec potentiel V (x) différent de zéro.
Remarquons tout d’abord que le propagateur libre (12.17) se ramène au propagateur en temps imaginaire (12.25) si l’on effectue dans (12.17) les substitutions t →−iτ et /2m → D, et par conséquent, la probabilité p(x b ,τ b |x a ,τ a )
s’écrit comme un élément de matrice dans la représentation position
p(x b ,τ b |x a ,τ a )=x b |e
−H0(τ b −τa)/ |x a
(12.33)
Nous avons vu que nous pouvions écrire (12.33) sous la forme de l’intégrale
de chemin (12.31), et nous voulons généraliser ce résultat lorsque l’on ajoute
un potentiel V (x) à H 0
H 0 → H = H 0 + V (x)=−
2
2m
∂
2
∂x 2 + V (x)
en évaluant le propagateur euclidien
K E (x b ,τ b |x a ,τ a )=x b |e
−H(τ b −τa)/ |x a
(12.34)
Comme ci-dessus, nous divisons l’intervalle [τ b ,τ a ] en n sous-intervalles de
longueur ε, (τ b − τ a )=nε, et nous utilisons la formule de Trotter pour deux
opérateurs A et B
e
A+B = lim
n→∞
e
A/n e
B/n
n
(12.35)
Cette formule est facile à montrer dans le cas où A et B sont des opérateurs
bornés (exercice 12.7.1). Choisissant
A = −(τ b − τ a )H 0 /
B = −(τ b − τ a )V/
nous obtenons
e
−H(τ b −τa)/ = lim
n→∞
e
−εH0/ e
−εV /
n
L ’ é t a p es u i v a n t ec o n s i s t e à écrire (exercice 12.7.1)
e
−εH0/ e
−εV / = e
−εV /2 e
−εH0/ e
−εV /2 + O(ε
3 )
On introduit aux temps euclidiens τ j = τ a + jε, j =1 , 2, ..., n − 1,
τ 0 = τ a ,τ n = τ b un ensemble complet de vecteurs propres de l’opérateur
position X
dx j |x j x j | = I
Physique quantique : Exercices et applications
de sorte que [(x j+1 − x j )
2 ]
1/2 ∝
√ ε,c eq u ie n t r a î n eq u el ec h e m i nx(τ ) est
une fonction continue, mais non dérivable : on ne peut pas définir la vitesse
d’une particule brownienne. En dépit de cette difficulté, Wiener a pu définir
rigoureusement une mesure (12.31) sur les chemins browniens.
12.2.2 Propagateur euclidien et fonction de partition
Notre objectif est de généraliser (12.31) lorsque l’on transpose au cas euclidien une équation de Schrödinger avec potentiel V (x) différent de zéro.
Remarquons tout d’abord que le propagateur libre (12.17) se ramène au propagateur en temps imaginaire (12.25) si l’on effectue dans (12.17) les substitutions t →−iτ et /2m → D, et par conséquent, la probabilité p(x b ,τ b |x a ,τ a )
s’écrit comme un élément de matrice dans la représentation position
p(x b ,τ b |x a ,τ a )=x b |e
−H0(τ b −τa)/ |x a
(12.33)
Nous avons vu que nous pouvions écrire (12.33) sous la forme de l’intégrale
de chemin (12.31), et nous voulons généraliser ce résultat lorsque l’on ajoute
un potentiel V (x) à H 0
H 0 → H = H 0 + V (x)=−
2
2m
∂
2
∂x 2 + V (x)
en évaluant le propagateur euclidien
K E (x b ,τ b |x a ,τ a )=x b |e
−H(τ b −τa)/ |x a
(12.34)
Comme ci-dessus, nous divisons l’intervalle [τ b ,τ a ] en n sous-intervalles de
longueur ε, (τ b − τ a )=nε, et nous utilisons la formule de Trotter pour deux
opérateurs A et B
e
A+B = lim
n→∞
e
A/n e
B/n
n
(12.35)
Cette formule est facile à montrer dans le cas où A et B sont des opérateurs
bornés (exercice 12.7.1). Choisissant
A = −(τ b − τ a )H 0 /
B = −(τ b − τ a )V/
nous obtenons
e
−H(τ b −τa)/ = lim
n→∞
e
−εH0/ e
−εV /
n
L ’ é t a p es u i v a n t ec o n s i s t e à écrire (exercice 12.7.1)
e
−εH0/ e
−εV / = e
−εV /2 e
−εH0/ e
−εV /2 + O(ε
3 )
On introduit aux temps euclidiens τ j = τ a + jε, j =1 , 2, ..., n − 1,
τ 0 = τ a ,τ n = τ b un ensemble complet de vecteurs propres de l’opérateur
position X
dx j |x j x j | = I