20. Corrigés d’une sélection d’exercices
923
Il en résulte
A =
√
N + I =
∞
n=0
|n
√
n +1n|
A
−1 =( N + I)
−1/2 =
∞
n=0
|n
1
√
n +1
n|
Comme A
−1 est défini, on peut écrire
e
iΦ = A
−1 a
Montrons que exp(iΦ) est précisément E =
n |nn +1 |. Pour ce faire,
comparons les éléments de matrice de E et de exp(iΦ)
m|E|p =
n
m|nn +1|p = δ p,m+1
m|A
−1 a|p =
n
m|n
1
√
n +1
n|a|p = δ p,m+1
en utilisant (10.17).
2. Compte tenu de [E, E
† ]=|00|,l ec o m m u t a t e u r[C, S] vaut
[C, S]=−
i
2
|00|
et si l’état de l’oscillateur est |ϕ
∆ ϕ C ∆ ϕ S ≥
1
4
||ϕ|0|
2
Si la projection de |ϕ sur le vide est nulle, alors ∆ ϕ C et ∆ ϕ S peuvent être
simultanément nuls
C
2 + S
2 = I −|00|
et si ϕ|0 =0, alors les valeurs moyennes de C
2 et S
2 vérifient
C
2 ϕ + S
2 ϕ =1
3. En suivant la méthode conduisant à (10.50), il est facile de calculer la
valeur moyenne de E dans l’état cohérent |z, z = |z| exp(iθ)
z|E|z = e
−|z|
2
n
z
2n+1
n!(n +1)!
≃ e
iθ
923
Il en résulte
A =
√
N + I =
∞
n=0
|n
√
n +1n|
A
−1 =( N + I)
−1/2 =
∞
n=0
|n
1
√
n +1
n|
Comme A
−1 est défini, on peut écrire
e
iΦ = A
−1 a
Montrons que exp(iΦ) est précisément E =
n |nn +1 |. Pour ce faire,
comparons les éléments de matrice de E et de exp(iΦ)
m|E|p =
n
m|nn +1|p = δ p,m+1
m|A
−1 a|p =
n
m|n
1
√
n +1
n|a|p = δ p,m+1
en utilisant (10.17).
2. Compte tenu de [E, E
† ]=|00|,l ec o m m u t a t e u r[C, S] vaut
[C, S]=−
i
2
|00|
et si l’état de l’oscillateur est |ϕ
∆ ϕ C ∆ ϕ S ≥
1
4
||ϕ|0|
2
Si la projection de |ϕ sur le vide est nulle, alors ∆ ϕ C et ∆ ϕ S peuvent être
simultanément nuls
C
2 + S
2 = I −|00|
et si ϕ|0 =0, alors les valeurs moyennes de C
2 et S
2 vérifient
C
2 ϕ + S
2 ϕ =1
3. En suivant la méthode conduisant à (10.50), il est facile de calculer la
valeur moyenne de E dans l’état cohérent |z, z = |z| exp(iθ)
z|E|z = e
−|z|
2
n
z
2n+1
n!(n +1)!
≃ e
iθ