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Physique quantique : Exercices et applications
ce qui donne la phase Φ. Par ailleurs, (10.42) donne
D(ζ n−1 + ···+ ζ 1 + ζ 0 )=exp
⎛
⎝ −
1
2
i,j
ζ i ζ
∗
j
⎞
⎠ exp
(ζ n1 + ···ζ 1 + ζ 0 ) a
†
× exp
(ζ n−1 + ···ζ 1 + ζ 0 )
∗ a
et à la limite où t → 0
D =exp
−
1
2
dt
′ dt
′′ ζ(t
′ )ζ
∗ (t
′′ )
exp[z(t)a
† ]exp[z
∗ (t)a]
=exp
−
1
2
|z(t)|
2
exp[z(t)a
† ]exp[z
∗ (t)a]
3. Calculons l’intégrale dans le second terme de D pour t>t 2
z(t)=i
t2
t1
f (t
′ )e
iωt
′
dt
′ = i
+∞
−∞
f (t
′ )e
iωt
′
dt
′ = i ˜
f (ω)
z(t) est indépendant de t. Nous obtenons finalement un opérateur ˜
U(t) indépendant de t pour t>t 2
˜
U(t)=exp
ia
† ˜
f (ω
exp
ia ˜
f
∗ (ω
exp(−iΦ) exp
−
1
2
| ˜
f (ω)|
2
Ceci nous permet de calculer l’amplitude de transition n → m
A mn (t)=m|U (t)|n = m|U 0 (t) ˜
U (t)|n
= e
−iEmt/ m| ˜
U (t)|n
Le résultat est particulièrement simple si l’oscillateur est dans son état fondamental au temps t =0car ˜
U (t)|0 est alors un état cohérent |z = i ˜
f (ω)
˜
U (t)|0 = e
−iΦ e
−| ˜
f (ω)|
2 /2 e
ia
† ˜
f (ω) |0 = e
−iΦ |i ˜
f (ω)
La probabilité d’observer un état final |m est donnée par une loi de Poisson
(10.34)
p(m)=
| ˜
f (ω)|
2
m
exp
−| ˜
f (ω)|
2
m!
10.4.5 Opérateur de phase
1. Écrivons a = Ae
iΦ . Nous en déduisons aa
† = A
2 et, compte tenu de
[a, a
† ]=I
a
† a + I = N + I = A
2