20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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10.4.4 Couplage à une force classique
1. D’après (10.68),
˜
a(t)=e
iH0t/ a e
−iH0t/ = a e
−iωt
˜
a(t =0)=a
d’où
˜
a(t)=a e
−iωt
˜
a
† (t)=a
† e
iωt
la formule pour ˜
a
† s’obtenant par conjugaison hermitienne. L’équation différentielle (4.44) pour ˜
U(t) devient
i
d ˜
U
dt
= −
a e
−iωt + a
† e
iωt
f (t) ˜
U(t)= ˜
W (t) ˜
U (t)
avec la condition aux limites ˜
U (t =0)=I.
2. Divisons l’intervalle [0,t] en n ≫ 1 intervalles infinitésimaux ∆t ;p o u r
un temps ∆t infinitésimal, l’opérateur d’évolution ˜
U(t j +∆t, t j ) est donné par
˜
U (t j +∆t, t j ) ≃ e
−i∆t ˜
W (tj )/
avec
−
i
∆t ˜
W (t j )=
if (t j )a
† e
iωtj + if (t j )a e
−iωtj
= ζ j a
† − ζ
∗
j a
où
ζ j = i∆tf (t j ) e
iωtj
L’opérateur d’évolution ˜
U(t) est
˜
U (t)=
n−1
j=0
exp
ζ j a
† − ζ
∗
j a
=
n−1
j=0
D(ζ j )
où D(ζ) est l’opérateur de déplacement (10.40). D’après (10.42),
D(ζ 1 )D(ζ 0 )=e x p [ i Im ζ 1 ζ
∗
0 )] D(ζ 1 + ζ 0 )
D(ζ 2 )D(ζ 1 )D(ζ 0 )=e x p [ i Im (ζ 2 (ζ
∗
1 + ζ
∗
0 )+ζ 1 ζ
∗
0 )] D(ζ 2 + ζ 1 + ζ 0 )
d’où le cas général
D(ζ n−1 ) ···D(ζ 1 )D(ζ 0 )=exp
⎡
⎣ 1
2i
j>i
(ζ j ζ
∗
i − ζ
∗
j ζ i )
⎤
⎦ D(ζ n−1 + ···+ ζ 1 + ζ 0 )
À la limite ∆t → 0,a v e cζ(t)=if (t)exp(iωt)
j>i
(ζ j ζ
∗
i − ζ
∗
j ζ i )=
dt
′ dt
′′ ε(t
′ − t
′′ )ζ(t
′ )ζ
∗ (t
′′ )