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Physique quantique : Exercices et applications
et on peut récrire le résultat précédent
ϕ z (q)=
1
π 1/4 exp
−
i
2
QP
exp (iP q)exp
−
1
2
(q −−Q)
2
En rétablissant les facteurs dimensionnés
ϕ z (q)=
mω
π
1/4
exp
−
i
2
QP
exp
i
P q
exp
−
1
2
mω
(q −−Q)
2
Le facteur de phase global
exp
−
i
2
QP
est physiquement non pertinent et peut être omis.
5. On écrit, avec z = ρ exp(iθ) et A nm = n|A|m
z|A|z =
n,m
z|nn|A|mm|z
= e
−|z|
2
n,m
A nm z
m z
∗n
√
n!m!
= e
−ρ
2
n,m
A nm
√
n!m!
e
i(m−n)θ ρ
n+m
où nous avons utilisé (10.31)
m|z = e
−|z|
2 /2 z
m
√
m!
Écrivant le développement de z|A|z sous une forme générale
z|A|z = e
−ρ
2
∞
q=0
∞
p=−∞
c pq e
ipθ ρ
q
on déduit
c pq =
1
q!
dRe zIm z
π
e
−ipθ z|A|z
et on peut faire l’identification
A nm =
√
n!m! c m−n,m+n
avec (m − n) et (m + n) entiers, (m + n) ≥ 0. On peut donc à partir de z|A|z
obtenir tous les éléments de matrice A mn .