20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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ce qui n’est possible que si b(z 0 )|ϕ(0) =0: |ϕ(0) est vecteur propre de b(z 0 )
avec la valeur propre 0
b(z 0 )|ϕ(0) =0 soit a|ϕ(0) = z 0 |ϕ(0)
4. On utilise (2.72)
e
A e
B = e
A+B e
1
2 [A,B]
avec
A =
c
√
2
(z − z
∗ )(a + a
† )
B =
c
′
√
2
(z + z
∗ )(a − a
† )
et
c = −c
′ =
1
√
2
A + B = −z
∗ a + za
†
L’égalité (2.72) est valable parce que [A, B] est un multiple de l’identité qui
commute avec A et B. On utilise un système d’unités tel que
= mω =1
ou de façon équivalente, on utilise les opérateurs ˆ
Q et ˆ
P de (11.4) au lieu de
Q et P
[A, B]=−
i
2
(z − z
∗ )(z + z
∗ )[Q, P ]=
1
2
(z
2 − z
∗2 )
On doit donc choisir
f (z, z
∗ )=exp
−
1
4
z
2 − z
∗2
Dans ces conditions, la fonction d’onde de l’état cohérent ϕ z (q) en représentation q est
ϕ z (q)=q|D(z)|0 =e x p
−
1
4
z
2 − z
∗2
exp
1
√
2
[z − z
∗ ]q
×Q| exp
−
i
√
2
[z + z
∗ ]P
|0
=e x p
−
1
2
z
2 − z
∗2
exp
1
√
2
[z − z
∗ ] q
×ϕ 0
q −
1
√
2
[z + z
∗ ]
où ϕ 0 (q) est la fonction d’onde (10.23) de l’état fondamental de l’oscillateur
harmonique. D’après (10.37), les valeurs moyennes de Q et de P sont
Q =
1
√
2
(z + z
∗ )
P =
1
i
√
2
(z − z
∗ )