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Physique quantique : Exercices et applications
qui s’annule seulement si p = q. Comme toute fonction de a et a
† peut s’écrire
comme une somme de tels monômes, en utilisant si nécessaire la relation de
commutation [a, a
† ]=I pour mettre les opérateurs de création et d’annihilation dans un ordre adéquat, on voit que la seule possibilité d’avoir un
commutateur nul est que cette fonction soit une somme de termes de la forme
(a
† )
p a
p . Tout monôme de la forme (a
† )
p a
p peut s’écrire comme une fonction
de a
† a en utilisant les relations de commutation (10.8). Si un opérateur A
commute avec N , c’est obligatoirement une fonction de N : A = f (N ).I l
n’existe pas d’opérateur indépendant de N et commutant avec N et
n
′ |A|n = n
′ |f (N )|n = f (n)δ nn ′
2. Soit un vecteur |ϕ orthogonal à tous les vecteurs |n, ϕ|n =0∀n
P
′ |n = |nP
′ |ϕ =0
Montrons que [P
′ ,a]=0. Il est évident que
n|[P
′ ,a]|n =0
ϕ|[P
′ ,a]|ϕ =0
Examinons ϕ|[P
′ ,a]|n et ϕ|[P
′ ,a
† ]|n
ϕ|P
′ a|n = ϕ|P
′ a
† |n =0
ϕ|aP
′ |n = ϕ|a|n =
√
n ϕ|n − 1 =0
n|a
† P
′ |n = n|a
† |ϕ =
√
n +1 ϕ|n +1 =0
et donc [P
′ ,a]=0et [P
′ ,a
† ]=0 . Le projecteur P
′ commute donc avec a et
a
† , et d’après le théorème de von Neumann, c’est un multiple de l’identité,
soit P
′ = I,s o i tP
′ =0. La seconde éventualité étant exclue, reste P
′ = I.
10.4.3 États cohérents
2. En utilisant le théorème d’Ehrenfest (4.26)
i
d
dt
a(t)=[a, H] = ωa(t)
car [a, H]=ωa. Si la condition initiale est
a(t =0)=ϕ(0)|a|ϕ(0) = z 0
la solution de l’équation différentielle ci-dessus est
a(t)=z 0 e
−iωt
3. On veut, en outre, que ϕ(0)|a
† a|ϕ(0) = |z 0 |
2 , ce qui implique, avec
b(z 0 )=a − z 0
ϕ(0)|b
† (z 0 )b(z 0 )|ϕ(0) = ϕ(0)|a
† a|ϕ(0)−z 0 ϕ(0)|a
† |ϕ(0)
−z
∗
0 ϕ(0)|a|ϕ(0) + |z 0 |
2
= ϕ(0)|(a
† a −|z 0 |
2 )|ϕ(0) = ||b(z 0 )ϕ(0)||
2 =0