20. Corrigés d’une sélection d’exercices
917
9.7.18 Coefficients de Clebsch-Gordan du couplage
L ·
S
Pour j = l +1/2, d’après (9.18)
J − ϕ(l +1/2,m)=
(j + m)(j − m +1) ϕ(l +1/2,m− 1)
tandis que
(L − − S − )ψ(m − 1/2, 1/2) =
(l + m +1/2)(l − m +3/2)
×ψ(m − 3/2, 1/2) + ψ(m − 1/2, −1/2)
(L − − S − )ψ(m +1/2, −1/2) =
(l + m +1/2)(l − m +1/2)
×ψ(m − 1/2, −1/2)
On identifie les coefficients de ψ(m − 3/2, 1/2) et ψ(m − 1/2, −1/2)
α m−1
(l + m +1/2)(l − m +3/2) = α m
(l + m − 1/2)(l − m +3/2)
On simplifie par
l − m +3/2 pour obtenir la relation de récurrence entre
α m et α m−1 . En identifiant le coefficient de ψ(m − 1/2, −1/2),onob t i en t
β m−1
(l + m +1/2)(l − m +3/2) = α m + β m
(l + m +1/2)(l − m +1/2)
soit
β m−1
l − m +3/2=
1
√
2l +1
+ β m
l − m +1/2
De |α m |
2 + |β m |
2 =1, on déduit
β m =
l − m +1/2
2l +1
et on vérifie que c’est bien le signe + qui convient.
20.10 Exercices du chapitre 10
10.4.2 Propriétés mathématiques
1. On procède par récurrence en supposant [N, a
p ]=−pa
p
[N, a
p+1 ]=[N, aa
p ]=[N, a]a
p + a[N, a
p ]=−(p +1)a
p+1
Considérons un monôme
2 en a et a
† , P =(a
† )
q a
p et calculons son commutateur avec N
[N, (a
† )
q a
p ]=[N, (a
† )
q ]a
p +(a
† )
q [N, a
p ]=(q − p)(a
† )
q a
p
2. Lorsque l’on écrit une combinaison de a et a † avec tous les a àd r o i t ee tt o u sl e sa † à
gauche, on dit que l’on a écrit cette combinaison sous forme normale (§ 17.4.2).