20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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et l z =0si x = y =0 , c’est-à-dire si la trajectoire de la particule suit l’axe
des z.
Par définition,
lm|θ, φ = Y
m
l
∗ (θ, φ)
mais on a aussi
lm|θ, φ = lm|e
−iφLz e
−iθLy |θ =0,φ =0
=
l ′ ,m ′
lm|e
−iφLz e
−iθLy |
′ m
′ l
′ m
′ |θ =0,φ=0
en introduisant un système complet d’états
l ′ ,m ′
|l
′ m
′ l
′ m
′ | = I
D’après le résultat de la question 1,
l
′ m
′ |θ =0,φ =0∝δ m ′ 0
et d’après (9.32),
lm|e
−iφLz e
−iθLy |l
′ , 0 = δ l ′ l D
(l)
m0 (θ, φ)
En fait, on peut facilement obtenir le coefficient de proportionnalité car
l
′ m
′ |θ =0,φ =0 = δ m ′ 0 Y
0
l (θ =0,φ =0)=
2l +1
4π
en utilisant (9.61) et la propriété P l (1) = 1.
9.7.8 Puits sphérique
1. Posant E = −B et ( =1)
k =
2m(V 0 − B)
κ =
√
2mB
on écrit la fonction d’onde radiale dans l’onde s
r r > R : u(r)=Be
−κr
La continuité de la dérivée logarithmique donne la relation
k cot kR = −κ
Comme dans le § 8.3.3, on définit U =2mV 0 et κ
2 = U − k
2 . L’équation aux
valeurs propres devient
cot kR = −
√
U − k 2
k