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Physique quantique : Exercices et applications
Dans cette rotation, θ → θ + dθ et φ → φ + dφ, que l’on détermine par
dy = r cos θ sin φ dθ + r sin θ cos φ dφ
dz = −r sin θ dθ
ce qui donne
dθ =sinφ dα
dφ =
cos φ
tan θ
dα
Ceci permet d’identifier L x
[−idαL x f ]( r)=dα
sin φ
∂
∂θ
+
cos φ
tan θ
∂
∂φ
f ( r)
soit
L x = i
sin φ
∂
∂θ
+
cos φ
tan θ
∂
∂φ
Pour calculer L y , on peut utiliser la même méthode, ou bien se servir de la
relation de commutation
L y = −i[L z ,L x ]=−
∂
∂φ
,L x
En tenant compte de
∂
∂φ
,f(φ)
= f
′ (φ)
∂
∂φ
,f(φ)
∂
∂φ
= f
′ (φ)
∂
∂φ
on obtient
L y = i
− cos φ
∂
∂θ
+
sin φ
tan θ
∂
∂φ
3. L’opérateur L z = −i∂/∂φ est défini sur les fonctions périodiques f (φ)=
f (φ +2π) et il est autoadjoint sur ce domaine (voir § 6.2.2). En revanche, la
fonction φf (φ) n’est pas périodique et elle n’appartient pas au domaine de
L z . On ne peut donc pas définir φL z et écrire une relation de commutation
entre φ et L z . On ne peut pas non plus utiliser la méthode de l’exercice 8.7.1
car les bornes d’intégration contribuent aux intégrations par parties.
9.7.6 Relation entre les matrices de rotation et les
harmoniques sphériques
1. La fonction f (0, 0,z) est invariante par rotation autour de Oz. L’action
de exp(−iαL z ) sur f (0, 0,z) est équivalente à l’identité et donc L z f (0, 0,z)=
0. En physique classique,
l z = xp y − yp x