20. Corrigés d’une sélection d’exercices
907
2. L’action de U (t f ,t i ) sur le vecteur |n ⊗ ϕ est
U (t f ,t i )|n ⊗ ϕ = e
−iganP/ |n ⊗ ϕ
Mais exp(−iga n P/) est un opérateur de translation de ga n et d’après (8.13),
e
−iganP/ ϕ
(x)=ϕ(x − ga n )
3. D’après la linéarité de la mécanique quantique, le vecteur d’état final
est
|χ f =
n
c n |n ⊗ ϕ n
L’opérateur statistique réduit de S est d’après (11.15),
ρ
(1) =
n,m
c n c
∗
m |mn||ϕ m |ϕ n =
n
|c n |
2 |nn|
parce que ϕ m |ϕ n = δ nm .L es y s t è m eS est donc un mélange statistique
d’états |n avec un poids |c n |
2 , et la probabilité d’observer S dans l’état |n
est |c n |
2 .
20.9 Exercices du chapitre 9
On rappelle que l’on utilise dans ce chapitre un système d’unités où =1.
9.7.5 Moment angulaire orbital
1. D’après l’expression de l’opérateur moment angulaire orbital en fonction
des opérateurs impulsion et position
R et
P
[L x ,L y ]=[ YP z − ZP y ,ZP x − XP z ]
=[ YP z ,ZP x ]+[ZP y ,XP z ]
= i[−YP x + XP y ]=iL z
2. Partons de l’équation (cf. (9.40))
e
−iαLx f
( r)=f
R
−1
ˆ
x [α]( r)
= f (R ˆ
x [−α]( r))
où R ˆ
x [α] est une rotation d’angle α autour de Ox.O np r e n dα infinitésimal,
α → α + dα ; dans une rotation d’angle −α autour de Ox
y
′ = z sin α + y cos α
dy = zdα
z
′ = z cos α − y sin α
dz = −ydα