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Physique quantique : Exercices et applications
3. L’énergie potentielle effective d’un spin orienté vers le haut (vers le bas)
est −μbz, et les équations de Schrödinger pour ϕ ± sont
i
∂ϕ ±
∂t
=
−
2
2m
∇
2 ∓ μbz
ϕ ± = Hϕ ±
En utilisant le théorème d’Ehrenfest (4.26),
d
dt
R ± (t)=
i
[H,
R ± ]=
1
m
P ±
d
dt
P x,y,± (t)=
i
[H, P x,y,± ]=0
d
dt
P z,± (t)=
i
[H, P z,± ]=±μb
Ce dernier résultat se déduit de
∓[μbZ, P z ]=∓iμb
On en déduit
Z ± = ±
μb
2m
t
2
et le centre du paquet d’ondes suit donc le mouvement classique.
4. Effectuons une réflexion par rapport au plan xOy. Dans cette réflexion,
μ ne change pas, car l’orientation d’une boucle de courant située dans le plan
xOy est inchangée. Dans cette même opération,
B change de sens, mais pas le
gradient, et donc
∇B est dirigé suivant −ˆ x. Mais l’image de la trajectoire dans
le miroir part toujours dans la direction +ˆ x, et donc l’image de l’expérience
dans le miroir n’est pas physiquement possible, sauf si la trajectoire n’est pas
déviée.
8.6.13 Modèle de mesure de von Neumann
1. L’opérateur d’évolution U (t, t 0 ) vérifie d’après (4.17)
i
d
dt
U (t, t 0 )=[g(t)AP ] U (t, t 0 )
qui s’intègre en
U (t, t 0 )=exp
−
i
AP
t
t0
g(t
′ )dt
′
Entre les instants t i et t f , on a donc
U (t f ,t i ) ≃ exp
−
i
AP
+∞
−∞
g(t
′ )dt
′
=exp
−
i
gAP
Physique quantique : Exercices et applications
3. L’énergie potentielle effective d’un spin orienté vers le haut (vers le bas)
est −μbz, et les équations de Schrödinger pour ϕ ± sont
i
∂ϕ ±
∂t
=
−
2
2m
∇
2 ∓ μbz
ϕ ± = Hϕ ±
En utilisant le théorème d’Ehrenfest (4.26),
d
dt
R ± (t)=
i
[H,
R ± ]=
1
m
P ±
d
dt
P x,y,± (t)=
i
[H, P x,y,± ]=0
d
dt
P z,± (t)=
i
[H, P z,± ]=±μb
Ce dernier résultat se déduit de
∓[μbZ, P z ]=∓iμb
On en déduit
Z ± = ±
μb
2m
t
2
et le centre du paquet d’ondes suit donc le mouvement classique.
4. Effectuons une réflexion par rapport au plan xOy. Dans cette réflexion,
μ ne change pas, car l’orientation d’une boucle de courant située dans le plan
xOy est inchangée. Dans cette même opération,
B change de sens, mais pas le
gradient, et donc
∇B est dirigé suivant −ˆ x. Mais l’image de la trajectoire dans
le miroir part toujours dans la direction +ˆ x, et donc l’image de l’expérience
dans le miroir n’est pas physiquement possible, sauf si la trajectoire n’est pas
déviée.
8.6.13 Modèle de mesure de von Neumann
1. L’opérateur d’évolution U (t, t 0 ) vérifie d’après (4.17)
i
d
dt
U (t, t 0 )=[g(t)AP ] U (t, t 0 )
qui s’intègre en
U (t, t 0 )=exp
−
i
AP
t
t0
g(t
′ )dt
′
Entre les instants t i et t f , on a donc
U (t f ,t i ) ≃ exp
−
i
AP
+∞
−∞
g(t
′ )dt
′
=exp
−
i
gAP