20. Corrigés d’une sélection d’exercices
905
8.6.12 Étude de l’expérience de Stern-Gerlach
1. Comme le plan yOz est un plan de symétrie, B z doit être une fonction
paire de x et on doit avoir
∂B z
∂x
x=0
=0
Par invariance par translation le long de Oy
∂B z
∂y
x=0
=0
Les deux composantes non nulles du champ magnétique sont, au voisinage de
x =0
B x = −bx
B z = B 0 + bz
Ce champ vérifie bien les deux équations de Maxwell (1.8) et (1.9) dans le
vide
∇×
B =0et
∇·
B =
∂B x
∂x
+
∂B z
∂z
= −b + b =0
L’énergie potentielle est
− μ ·
B = −μ x B x − μ z B z = bμ x x − bμ z z
d’où la force
F de composantes
F x =
∂(− μ ·
B)
∂x
= bμ x
F z =
∂(− μ ·
B)
∂z
= −bμ z
Le terme B 0 ˆ
z du champ magnétique a pour effet une précession de Larmor
du spin autour de l’axe Oz (§ 3.2.5) où μ z reste constant. En revanche, en
raison de cette précession, la valeur moyenne de μ x est nulle : μ x =0,e tl a
force suivant Ox se moyenne à zéro si le temps de transit est ≫ 1/ω,c a rl e
spin effectue un grand nombre de révolutions autour de Oz.
2. La force sur le moment magnétique est verticale et constante ; elle vaut
F = ±μb pour un spin orienté suivant ±ˆ z. L’écart entre les trajectoires d’un
spin orienté vers le haut et d’un spin orienté vers le bas à la sortie de l’entrefer
est donc
δ =2
1
2
F
m
t
2 =
F
m
L
v
2
=
μb
m
L
v
2
Évaluons aussi le produit ∆z∆p z
∆z∆p z ∼
10
−4
1.8 × 10
−25
(10) = 1.8 × 10
−28 MKSA ∼ 10
6
La description par des trajectoires classiques est bien légitime.