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Physique quantique : Exercices et applications
en choisissant le cas F =1,G=0. La condition de continuité à x =0donne
A + B =1
tandis que la condition sur la dérivée est
ik − ik(A − B)=g
On en tire
A =1+
ig
2k
B = −
ig
2k
d’où les éléments de la matrice de passage
M 11 =1+
ig
2k
M 12 =
ig
2k
6. La condition
ϕ q (x)=e
iql ϕ q (x − l)
donne
F e
ikx + Ge
−ikx = e
iql
Ae
ik(x−l) + Be
ik(x+l)
soit
F = A e
i(q−k)
G = B e
i(q+l)
Les conditions de continuité de ϕ q (x) et la condition sur sa dérivée s’écrivent
A
1 − e
i(q−k)l
+ B
1 − e
i(q+k)l
=0
A
g + ik
1 − e
i(q−k)l
+ B
g − ik
1 − e
i(q+k)l
=0
On obtient donc un système de deux équations à deux inconnues A et B dont
le discriminant ∆ doit être nul si l’on veut une solution non triviale. Posant
α =(q − k)l et β =(q + k)l
∆=det
1 − e
iα
1 − e
iβ
g + ik
1 − e
iα
g − ik
1 − e
iβ
=0
Le calcul de ∆ donne
∆=g
e
iβ − e
iα
− 2ik
1 − e
iα − e
iβ + e
i(α+β)
=0
et en multipliant par exp(−iql)
2ig sin kl − 4ik(cos ql − cos kl)=0
On retrouve bien (8.108)
cos ql =coskl +
g
2k
sin kl