20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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ce qui donne
κ =
|g|
2
1 − e
−2κl
Cette équation a une solution et une seule si la dérivée de |g|[1 −
exp(−2κl)]/2 >κà κ =0 , c’est-à-dire si |g|l>1.I ln ’ yp a sd es o l u t i o n
impaire si |g|l<1.
4. On considère deux puits de potentiel profonds et étroits de largeur a
distants de l,a v eca ≪ l. On approxime donc les deux puits par des fonctions
delta, ce qui ramène au potentiel de la question précédente, et on suppose
κl ≫ 1. Dans ces conditions, il existe deux états liés, l’un pair d’énergie
correspondant à
κ + =
|g|
2
(1 + e
−2κl )
et l’autre impair d’énergie correspondant à
κ − =
|g|
2
(1 − e
−2κl )
La différence d’énergie entre les deux états est donc
E − − E + = −
2
2m
(κ
2
− − κ
2
+ )=
2
2m
g
2 e
−2κl
l’énergie moyenne E 0 étant
E 0 =
1
2
(E + + E − ) ≃−
2 g
2
8m
On peut donc écrire
E + ≃−
2 g
2
8m
1+2e
−2κl
E − ≃−
2 g
2
8m
1 − 2e
−2κl
Ce sont les valeurs propres d’un hamiltonien à deux niveaux
H = −
2 g
2
8m
1
−2e
−2κl
−2e
−2κl
1
D’après (12.109), le coefficient de transmission par effet tunnel d’une particule
d’énergie ≃ 0 par une barrière de hauteur V 0 et de largeur 2l est
T ≃ e
−4κl
et les éléments non diagonaux du hamiltonien sont ≃
√
T .
5. On écrit la fonction d’onde
x<0:ϕ(x)=Ae
ikx + Be
−ikx
x>0:ϕ(x)=F e
ikx + Ge
−ikx