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Physique quantique : Exercices et applications
Il n’y a pas de solution impaire car ϕ(0) = 0 pour une solution impaire.
Retrouvons le résultat en prenant la limite a → 0, V 0 a →
2 g/(2m) du puits
carré dont les niveaux d’énergie correspondant à une fonction d’onde paire
sont donnés par (8.79)
κ = k tan
ka
2
ce qui donne
k ≃
2m|V 0 |
tan
ka
2
≃ tan
2m|V 0 |a
2
→ 0
et
κ ≃
2m|V 0 |
2m|V 0 | a
2
=
m|V 0 |a
2 =
m
2
2 |g|
2m
=
1
2
|g|
3. Comme le potentiel de la molécule diatomique est pair, on cherche des
solutions paires et des solutions impaires. Pour les solutions paires,
x<−l : ϕ(x)=e
κx − l l : ϕ(x)=e
−κx
La continuité de ϕ au point x = l donne
A cosh κl = e
−κl
et la continuité de la dérivée au même point
−κe
−κl − Aκ sinh κl = −|g|e
−κl
On remarque que
A sinh κl = A cosh κl tanh κl = e
−κl tanh κl
d’où l’équation donnant la valeur propre de l’énergie
(1 + tanh κl)=
|g|
κ
La solution est unique et donnée par l’intersection des courbes (1 + tanh κl)
et g/κ tracées en fonction de κ. On peut récrire la valeur de κ
κ =
|g|
2
1+e
−2κl
Cherchons maintenant les solutions impaires, qui sont de la forme
x<−l : ϕ(x)=−e
κx − l l : ϕ(x)=e
−κx
La condition de continuité de ϕ(x) et la condition sur sa dérivée à x = l sont
maintenant
A sinh κl = e
−κl
−κe
−κl − Aκ cosh κl = −|g|e
−κl