20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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Prenant le module carré,
|ϕ(x, t)|
2 =
1
πσ 2
1/2
|σ
′ |
2 exp
−Re σ
′ 2 (x − v g t)
2
Le pic de |ϕ(x, t)|
2 est centré à x = v g t avec une largeur
∆x
2 (t)=
1
2Reσ ′ 2
soit
∆x
2 (t)=
1
2σ 2
1+
2 σ
4 t
2
m 2
La largeur du paquet d’ondes augmente avec le temps, en raison du terme
2 σ
4 t
2 /m
2 dans la parenthèse.
4. ∆x
2 (t) double pour
t =
m
σ 2 =
2m∆x
2 (t =0)
=3.2 × 10
−11 s
8.6.7 Potentiel en fonction δ
1. La dimension de δ(x) est L
−1 et si g a pour dimension l’inverse d’une
longueur, la dimension de V (x) est
M
2 L
4 T
−2 M
−1 L
−1 L
−1 = ML
2 T
−2
ce qui est bien la dimension d’une énergie.
2. On intègre l’équation de Schrödinger écrite sous la forme
d
2
dx 2 +
2mE
2
ϕ(x)=gδ(x) ϕ(x)
entre x = −ε et x =+ε
+ε
−ε
ϕ
′′ (x)dx = ϕ
′ (−ε) − ϕ
′ (−ε)=gϕ(0)
La fonction ϕ(x) est continue à x =0mais sa dérivée ϕ
′ (x) ne l’est pas. Dans
le cas d’un état lié, on doit avoir
ϕ(x)=Ae
−κ|x| pour x =0
On a donc
ϕ
′ (0
+ ) − ϕ
′ (0
− )=−2κA = −|g|ϕ(0) = −|g|A
d’où 2κ = |g| et la valeur de E
E = −
2 κ
2
2m
= −
2 g
2
8m