20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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on trouve
d
2
dt 2 X
2 (t)=
2
m
P
2
La dérivée troisième de X
2 (t) et les dérivées d’ordre supérieur sont nulles
d
n
dt n X
2 (t)=0
n ≥ 3
car [K, [K, X
2 ]] ∝ P
2 et [K, P
2 ]=0. X
2 (t) est donc un polynôme du second
degré en t
X
2 (t)=X
2 (t =0)+t
d
dt
X
2 (t)
t=0
+
1
2
t
2 d
2
dt 2 X
2 (t)
t=0
Pour calculer la dispersion, on utilise pour une particule libre
∆x
2 (t)=X
2 (t) − [X(t)]
2
et
d
dt
X(t)=
i
[K, X]=
P
m
ce qui donne
X(t)=X(t =0)+t
P
m
car les dérivées d’ordre ≥ 2 sont nulles.
8.6.3 Paquet d’ondes gaussien
On rappelle deux résultats sur les intégrales gaussiennes
+∞
−∞
dx e
−α
2 x
2 =
√
π
α
∆x =
1
√
2 α
1. Posant k
′ = k − k,
dk|A(k)|
2 =
1
πσ 2
1/2
dk
′ exp
−
k
′ 2
σ 2
=1
et ∆k = σ/
√
2. Calculons la fonction d’onde au temps t =0
ϕ(x, 0) =
1
πσ 2
1/4
e
ikx
dk
′
√
2π
exp
ik
′ x −
k
′ 2
2σ 2
=
σ
1/2
π 1/4 exp
ikx −
1
2
σ
2 x
2