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Physique quantique : Exercices et applications
20.8 Exercices du chapitre 8
8.6.2 Étalement du paquet d’ondes
1.
[P
2 ,X]=P [P, X]+[P, X]P = −2iP
On peut aussi utiliser
[f (P ),X]=−if
′ (P )
2. D’après le théorème d’Ehrenfest (4.26) en choisissant A = X
2
d
dt
X
2 (t)=
i
[H, X
2 ] =
i
P
2
2m
+ V (X),X
2
=
i
2m
[P
2 ,X
2 ]
Mais
[P
2 ,X
2 ]=−2i(XP + PX)
ce qui donne finalement
d
dt
X
2 (t)=
1
m
XP + PX
En passant en représentation x
PX =
dxϕ
∗ (x)
−i
∂
∂x
(xϕ(x)
= i
dxxϕ(x)
∂ϕ
∗ (x)
∂x
où la seconde expression est obtenue par une intégration par parties. En combinant avec
XP =
dxϕ
∗ (x)x
−i
∂ϕ(x)
∂x
on aboutit à
d
dt
X
2 (t)=
i
m
∞
−∞
dxx
ϕ
∂ϕ
∗
∂x
− ϕ
∗ ∂ϕ
∂x
Ces résultats sont valables pour une particule dans un potentiel, et pas seulement pour une particule libre.
3. En revanche, les résultats qui suivent ne sont valables que pour une
particule libre, V (X)=0 . Le hamiltonien est alors le hamiltonien cinétique
H = K = P
2 /(2m). On calcule la dérivée seconde de X
2 (t)
d
2
dt 2 X
2 (t) =
i
d
dt
[K, X
2 ] = −
1
2
d
dt
[K, [K, X
2 ]]
où nous avons utilisé deux fois le théorème d’Ehrenfest. Compte tenu de
[P
2 ,XP + PX]=−4iP
2