20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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7.5.8 Hamiltonien dans un champ magnétique
1. Ecrivons L sous la forme
L =
1
2
m
3
i=1
˙
x
2
i − qV ( r, t)+q
3
i=1
A i ( r, t)˙ x i
où i, k = x, y, z. Ceci donne pour les dérivées partielles
∂L
∂ ˙
x k
= p k = m ˙
x k + qA k
d
dt
∂L
∂ ˙
x k
= m¨ x k + q
3
i=1
(∂ i A k )˙ x i
∂L
∂x k
= −q∂ k V − q(∂ t A k )+q
3
i=1
(∂ k A i )˙ x i
d’où les équations du mouvement
m¨ x k = −q∂ k V − q∂ t A k + q
3
i=1
(∂ k A i − ∂ i A k )˙ x i
Transformons le dernier terme de cette équation en utilisant l’expression du
champ magnétique
1
B =
∇×
A ou B l =
m,n
ε lmn ∂ m A n
où ε ijk est le tenseur complètement antisymétrique, soit (exercice 3.3.7)
l
ε lki B l = ∂ k A i − ∂ i A k
On en déduit
i
(∂ k A i − ∂ i A k )˙ x i =
i,l
ε lki B l ˙
x i =( v ×
B) k
En remarquant que le champ électrique a pour composante k
E k = −∂ k V − ∂ t A k
nous obtenons la loi de Lorentz
m
d
2 r
dt 2 = q(
E + v ×
B)
1. On peut aussi utiliser une composante particulière, par exemple la composante x
(∂xAy − ∂yAx)˙ x = Bz ˙
x