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Physique quantique : Exercices et applications
On en déduit
T b T c = T bc + if abc T a
T c T b = T bc + if acb T a
et en retranchant les deux équations
[T b ,T c ]=i[f abc − f acb ]T a
La constante de structure C abc vaut
C abc =[f abc − f acb ]=−C acb
7.5.5 Règle de somme de Thomas-Reiche-Kuhn
1. De la relation générale (voir(7.41)),
[X, f(P )] = i
∂f
∂P
on tire
[P
2 ,X]=−2iP et [[P
2 ,X],X]=−2i[P, X]=−2
2
d’où
P
2
2m
+ V (X),X
=[H, X]=−
i
m
P
[[H, X],X]=−
2
m
2. Par ailleurs, le commutateur s’exprime aussi comme
[[H, X],X]=HX
2 − 2XHX + X
2 H
et en utilisant ϕ n |H|ϕ m = E n δ nm
ϕ 0 |HX
2 |ϕ 0 =
n,m
ϕ 0 |H|ϕ n ϕ n |X|ϕ m ϕ m |X|ϕ 0 = E 0
n
|X n0 |
2
ϕ 0 |XHX|ϕ 0 =
n,m
ϕ 0 |X|ϕ n ϕ n |H|ϕ m ϕ m |X|ϕ 0 =
n
E n |X n0 |
2
d’où le résultat
n
2m|X n0 |
2
2
(E n − E 0 )=1