20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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5. Comme W est hermitien et de trace nulle, car
Tr (U VU
−1 )=T rV
on peut écrire W = σ ·
W = σ ·
V (θ).
d
dθ
σ ·
V (θ)
= −
i
2
[ σ · ˆ
n, , σ ·
V (θ)] = σ · (ˆ n ×
V (θ)
où nous avons utilisé (3.52), ce qui montre que
V (θ) se déduit de
V par une
rotation d’angle θ autour de ˆ
n
d
V
dθ
=ˆ n ×
V (θ)
À toute rotation R ˆ
n (θ) correspondent deux matrices U ˆ
n : U ˆ
n (θ) et U ˆ
n (θ +
2π)=−U ˆ
n (θ).
7.5.4 Algèbre de Lie d’un groupe continu
1 Comme g(θ =0)=I, la loi de composition s’écrit
g(θ)I = g(θ)=g(f (θ, 0) =⇒ f a (θ, 0) = θ a
On écrit a priori un développement à l’ordre θ
2 de f a (θ, θ)
f a (θ, θ)=θ a + θ a + λ abc θ b θ c + λ abc θ b θ c + f abc θ b θ c + O(θ
3 ,θ
2 θ, θ θ
2 , θ
3 )
la condition f a (θ, θ =0)=θ a entraîne λ abc =0et de même λ abc =0.
3. On a d’une part, en négligeant les termes d’ordre (θ
3 ,θ
2 θ, θ θ
2 , θ
3 )
U (θ)U (θ)=I − iθ a T a − iθ a T a −
1
2
(θ b θ c + θ b θ c )T bc − θ a θ b T a T b
et d’autre part,
U (f (θ, θ)) = I − iT a (θ a + θ a + f abc θ b θ c ) −
1
2
(θ b + θ b )(θ c + θ c )T bc
En réétiquetant les indices de sommation et compte tenu de la propriété de
symétrie T bc = T cb ,c a r
T bc = −
∂
2 U
∂θ a ∂θ b
θa=θ b =0
la comparaison des deux expressions donne
θ b θ c T b T c = if abc T a θ b θ c + θ b θ c T bc