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Physique quantique : Exercices et applications
20.7 Exercices du chapitre 7
7.5.2 Rotations et SU(2)
1. Partons de la forme générale d’une matrice 2 × 2
U =
ab
cd
et calculons U
† U qui doit être égal à I
U
† U =
|a|
2 + |b|
2
ac
∗ + bd
∗
ca
∗ + db
∗
|c|
2 + |d|
2
=
10
01
ce qui donne
|a|
2 + |b|
2 = |c|
2 + |d|
2 =1
De c = −b
∗ d/a
∗ et de det U = ad − bc =1,o nt i r ed = a
∗ .
2. À l’ordre τ ,
U
† U =(I + iτ
† )(I − iτ ) ≃ I − i(τ − τ
† )
et la condition U
† U = I implique τ = τ
† . De plus, la condition det U =1
entraîne Tr τ =0 . La décomposition (3.54) jointe à la condition Tr τ =0
permet d’écrire
τ =
1
2
3
i=1
θ i σ i
les angles θ i étant infinitésimaux puisque τ est infinitésimal.
3. Comme θ/N est infinitésimal on peut écrire
U ˆ
n
θ
N
= I −
iθ
2N
( σ · ˆ
n)
et utilisant
lim
N →∞
1 −
x
N
N
= e
−x
on déduit
U ˆ
n (θ)=exp
−i
θ
2
( σ · ˆ
n)
4. Le déterminant de V est égal au signe près à la (longueur)
2 du vecteur
V : det V = −
V
2 et comme
det(U VU
−1 )=detV
on obtient
W
2 =d e tW =
V
2 , ce qui montre que la transformation conserve
la longueur des vecteurs. C’est donc une rotation, ou une rotation fois une
opération parité.