20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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7. Les coefficients du vecteur propre |χ 1 normalisé sont
(0.372, 0.601, 0.601, 0.372)
tandis que ceux de |χ 2 sont
(0.601, 0.372, −0.372, −0.601)
L’ordre de la liaison 1-2 est
1+2
ϕ 1 |χ 1 χ 1 |ϕ 2 + ϕ 1 |χ 2 χ 2 |ϕ 2
=1.89
très proche d’une double liaison, tandis que pour la liaison 2-3
1+2
ϕ 2 |χ 1 χ 1 |ϕ 3 + ϕ 2 |χ 2 χ 2 |ϕ 3
=1.45
Cette liaison est moins forte que la précédente, ce qui explique qu’elle soit
plus proche d’une liaison simple et donc plus longue.
5.5.5 L’ion moléculaire H
+
2
1. Le potentiel V (x) vaut
V (x)=−e
2
1
|x + r/2|
+
1
|x − r/2|
Il est égal à −∞ si x = ±r/2 et passe par un maximum de −4e
2 /r pour x =0.
2. l ≃ a 0 , dimension caractéristique de l’atome d’hydrogène.
3. Valeurs propres et vecteurs propres
E + = E 0 − A
|χ + =
1
√
2
|ϕ 1 + |ϕ 2
E − = E 0 + A
|χ − =
1
√
2
|ϕ 1 −|ϕ 2
4. A est un coefficient de transmission par effet tunnel. La barrière de potentiel voit sa largeur diminuer quand r décroît : le coefficient de transmission
augmente quand r diminue.
5. e
2 /r est l’énergie potentielle (répulsive) entre les deux protons
E
′
± (r)=E ± (r)+
e
2
r
= E 0 ∓ A(r)+
e
2
r
6. L’expression approchée de E
′
+ (r) est
E
′
+ (r)=E 0 + e
2
1
r
− c e
−b/r
= E 0 +∆E(r)