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Physique quantique : Exercices et applications
3. Compte tenu de la forme de postulée pour les coefficients c n
c n−1 + c n+1 =
c
2i
e
i(n−1)δ + e
i(n+1)δ − e
−i(n−1)δ − e
−i(n+1)δ
=
c
2i
2cosδ
e
inδ − e
−inδ
=2c n cos δ
La condition c 0 =0est vérifiée par construction. La condition c N +1 =0
entraîne
δ s =
πs
N +1
s =0, 1, ··· ,N
4. D’après les résultats de la question 1,
H|χ s = E 0 |χ s −2A cos
πs
N +1
|χ
d’où les valeurs de l’énergie
E s = E 0 − 2A cos
πs
N +1
Calculons la normalisation de |χ s
X =
N
n=1
sin
2 πsn
N +1
=
1
2
N
n=1
1 − cos
2πsn
N +1
Mais
N
n=1
cos
2πsn
N +1
=Re
N
n=1
exp
2iπsn
N +1
=Re
1 − e
2iπs
1 − e 2iπs/(N +1 − 1=−1
et X =(N +1)/2. Le vecteur |χ s normalisé est donc
|χ s =
2
N +1
N
n=1
sin(nδ s )|ϕ n
5. Dans le cas du butadiène N =4
cos
π
5
=0.809
cos
2π
5
=0.309
ce qui donne pour les deux premiers niveaux d’énergie
E s=1 = E 0 − 1.62AE s=2 = E 0 − 0.62A
L’énergie des quatre électrons π est donc
E =4E 0 − 2(1.62A +0.62A)=4(E 0 − A) − 0.48A
L’énergie de délocalisation est de −0.48A.