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Physique quantique : Exercices et applications
Cherchons le minimum de ∆E(r)
d∆E(r)
dr
= e
2
−
1
r 2 +
c
b
e
−r/b
=⇒
1
r 2
0
=
c
b
e
−r0/b
et l’on obtient
∆E(r 0 )=e
2
1
r 0
− c e
−r0/b
= e
2
1
r 0
−
b
r 2
0
On en déduit
b =
6
5
r 0 =
12
5
a 0
c =
3
5a 0
e
5/6 ≃
1.38
a 0
Il faut que b>r 0 pour que l’ion H
+
2 soit un état lié.
5.5.6 Compléments sur la RMN
2. Récrivons H 1 en termes de σ + et σ −
σ x = σ + + σ −
H 1 = −
2
ω 1 (σ + + σ − )
e
iωt + e
−iωt
d’où
ˆ
H 1 (t)=−
2
ω 1 σ +
1+e
−2iωt
−
2
ω 1 σ −
e
2iωt +1
Dans le cadre de l’approximation séculaire où l’on néglige les termes rapidement oscillants exp(±2iωt)
ˆ
H 1 = −
2
ω 1 (σ + + σ − )=−
2
ω 1 σ x
La composante B 1 (ˆ x cos ωt − ˆ
y sin ωt) du champ de radiofréquences est fixe
dans le référentiel tournant : à la résonance, elle suit la précession de Larmor,
alors que la composante B 1 (ˆ x cos ωt +ˆ y sin ωt) tourne en sens inverse. Elle
oscille rapidement dans le référentiel tournant et son influence est négligable.
20.6 Exercices du chapitre 6
6.4.3 Relations de commutation canoniques
1. Supposant B borné, on peut définir B
′ = B/||B||, ||B
′ || =1 ,e tA
′ =
A||B|| sans modifier les relations de commutation : [A
′ ,B
′ ]=iI. On supposera
donc ||B|| =1. Utilisons un raisonnement par récurrence en supposant
[B, A
n ]=inA
n−1