20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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avec
a
2 + b
2 = D =1− 4rs cos
2 θ
2
On en déduit X
2X − 1=
a 2 + b 2 =
√
D
d’où la borne de Helstrom
p max =
1
2
1+
√
D
=
1
2
1+
1 − 4rs||ϕ|χ| 2
2. Si l’on tient compte des angles φ et β, l’expression de 2X − 1 devient
en fonction de γ = φ − β
2X − 1=(r − s cos θ)cosα − s sin θ cos γ sin α
et l’équation dX/dα =0
(r − s cos θ)sinα + s sin θ cos γ cos α =0
ce qui donne
a = r − s cos θb = s sin θ cos γa
2 + b
2 = D − s
2 sin
2 θ sin
2 γ
et
2X − 1=
1
2
1+
1 − 4rs cos
2 θ
2
− s
2 sin
2 θ sin
2 γ
1/2
qui est maximum pour γ =0. Pour cette valeur de γ, on retrouve la borne de
Helstrom. Si maintenant |ψ possède une composante |ψ ⊥ dans l’espace H ⊥
orthogonal au sous-espace H sous-tendu par |ϕ et χ, nous pouvons écrire
|ψ =
1
N
cos
α
2
|+ +sin
α
2
|−− + |ψ ⊥
où |+ et |−− sont deux vecteurs de base de H et |ψ ⊥ ∈H ⊥ . La constante
de normalisation N est
N
2 =1+ψ ⊥
2
Il est immédiat de répéter la minimisation et de constater que le résultat
optimal est obtenu pour N =1,s o i t|ψ ⊥ =0.
4.4.9 Règle de Born généralisée
La probabilité de trouver la valeur 1 pour P i0j0 est égale à sa valeur
moyenne dans l’état |Ψ
Ψ|P i0j0 |Ψ = |c i0j0 |
2