20. Corrigés d’une sélection d’exercices
883
d’où le résultat de l’énoncé
I =
1
4
(f a + f c )
2
i,j
e
i q·( ri− rj) +
N
4
[(f a − f c )
2 +2f
2
b ]
4. Par invariance par rotation, on a, par exemple,
f a :n e u t r o n↓ +n o y a u↑→ neutron ↓ +n o y a u↑
et un résultat analogue pour les deux autres amplitudes. On retrouve le résultat de la question précédente si les neutrons sont polarisés avec un spin down.
Le résultat avec des neutrons non polarisés s’obtient en prenant la moyenne
du résultat spin en haut et spin en bas, et on retrouve à nouveau le résultat
de la question 3.
20.4 Exercices du chapitre 4
4.4.4 Évolution temporelle d’un système à deux
niveaux
1. Le système d’équations différentielles vérifié par c ± (t) est
i ˙
c + = Ac + + Bc −
i ˙
c − = Bc + − Ac −
2. Si |ϕ(t =0) se décompose sur les vecteurs propres |χ ± suivant
|ϕ(t =0) = λ|χ + + μ|χ −
alors
|ϕ(t) = λe
−iΩt/2 |χ + + μe
iΩt/2 |χ −
Compte tenu de +|χ + =c o s θ/2 et +|χ − = − sin θ/2,o nt r o u v ep o u r
c + (t)
c + (t)=+|ϕ(t) = λe
−iΩt/2 cos
θ
2
− μe
iΩt/2 sin
θ
2
3. Si c + (0) = 0
λ cos
θ
2
− μ sin
θ
2
=0
et une solution possible est
λ =sin
θ
2
μ =cos
θ
2
ce qui donne pour c + (t)
c + (t)=− sin
θ
2
cos
θ
2
e
−iΩt/2 − e
iΩt/2
= i sin θ sin
Ωt
2
883
d’où le résultat de l’énoncé
I =
1
4
(f a + f c )
2
i,j
e
i q·( ri− rj) +
N
4
[(f a − f c )
2 +2f
2
b ]
4. Par invariance par rotation, on a, par exemple,
f a :n e u t r o n↓ +n o y a u↑→ neutron ↓ +n o y a u↑
et un résultat analogue pour les deux autres amplitudes. On retrouve le résultat de la question précédente si les neutrons sont polarisés avec un spin down.
Le résultat avec des neutrons non polarisés s’obtient en prenant la moyenne
du résultat spin en haut et spin en bas, et on retrouve à nouveau le résultat
de la question 3.
20.4 Exercices du chapitre 4
4.4.4 Évolution temporelle d’un système à deux
niveaux
1. Le système d’équations différentielles vérifié par c ± (t) est
i ˙
c + = Ac + + Bc −
i ˙
c − = Bc + − Ac −
2. Si |ϕ(t =0) se décompose sur les vecteurs propres |χ ± suivant
|ϕ(t =0) = λ|χ + + μ|χ −
alors
|ϕ(t) = λe
−iΩt/2 |χ + + μe
iΩt/2 |χ −
Compte tenu de +|χ + =c o s θ/2 et +|χ − = − sin θ/2,o nt r o u v ep o u r
c + (t)
c + (t)=+|ϕ(t) = λe
−iΩt/2 cos
θ
2
− μe
iΩt/2 sin
θ
2
3. Si c + (0) = 0
λ cos
θ
2
− μ sin
θ
2
=0
et une solution possible est
λ =sin
θ
2
μ =cos
θ
2
ce qui donne pour c + (t)
c + (t)=− sin
θ
2
cos
θ
2
e
−iΩt/2 − e
iΩt/2
= i sin θ sin
Ωt
2