20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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Choisissant pour la solution de base α x =0et α y = −π/2
σ x =
01
10
σ y =
0 i
−i 0
Le changement de signe de σ y correspond à une inversion de l’axe Oy :
on passe d’un triède droit à un triède gauche. Les autres solutions s’obtiennent à partir de la solution de base par une rotation autour de Oz.
3.3.7 Exponentielles de matrices de Pauli
1. Compte tenu de (3.50),
( σ · ˆ
n)
2 = I
( σ · ˆ
n)
3 =( σ · ˆ
n) ...
le développement de l’exponentielle est
exp
−i
θ
2
σ · ˆ
n
= I − i
θ
2
σ · ˆ
n +
1
2!
−i
θ
2
2
I +
1
3!
−i
θ
2
3
σ · ˆ
n ···
= I cos
θ
2
− i( σ · ˆ
n)sin
θ
2
2. On doit avoir
U = a 1 I + ia 2 σ z + ib 2 σ x + ib 1 σ y
= I cos
θ
2
− i sin
θ
2
n z
n x − in y
n x + in y
−n z
et on en déduit
a 1 =cos
θ
2
a 2 = −n z sin
θ
2
b 2 = −n x sin
θ
2
b 1 = −n y sin
θ
2
ce qui est possible car
a
2
1 + a
2
2 + b
2
1 + b
2
2 =1
3. Le produit de deux exponentielles de matrices de Pauli vaut
e
−iα( σ·ˆ a) e
−iβ( σ· ˆ b) =c o s α cos β − i sin α cos β( σ · ˆ
a) − i sin β cos α( σ · ˆ b)
− sin α sin β[ˆ a · ˆ b + i σ · (ˆ a × ˆ b)]
Par ailleurs,
e
−i[α( σ·ˆ a)+β( σ· ˆ b)] = I cos ||αˆ a + β ˆ b|| − i
sin ||αˆ a + β ˆ b||
||αˆ a + β ˆ b||
[α( σ · ˆ
a)+β( σ · ˆ b)]
Pour avoir l’égalité des deux facteurs, il faut