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Physique quantique : Exercices et applications
En effet, compte tenu des relations de commutation de [A, B] avec A et B,
le développement en série s’arrête au deuxième terme. Nous obtenons donc
l’équation différentielle
dg
dt
=
A + B + t[A, B]
g(t)
Compte tenu des relations de commutation, cette équation s’intègre en
g(t)=e
(A+B)t+
1
2 [A,B]t
2
Notons que l’intégration n’est possible que parce que [[A, B],A + B]=0 .
Posant t =1,
g(1) = e
A e
B = e
A+B+[A,B]/2 = e
A+B e
[A,B]/2
20.3 Exercices du chapitre 3
3.3.1 Polarisation elliptique et détermination
de la polarisation
1. Nous pouvons choisir δ x =0, δ y = δ. L’équation de l’ellipse
x =cosθ cos ωt
y =sinθ cos(ωt − δ)
s’écrit en coordonnées cartésiennes
x
2
cos 2 θ
− 2xy
cos δ
sin θ cos θ
+
y
2
sin
2 θ
=sin
2 δ
La direction des axes est obtenue en recherchant les vecteurs propres de la
matrice
A =
⎛
⎜
⎝
1
cos 2 θ
−
cos δ
sin θ cos θ
−
cos δ
sin θ cos θ
1
sin
2 θ
⎞
⎟
⎠
qui font des angles α et α + π/2 avec l’axe des x,o ùα est donné par
tan α =cosδ tan 2θ
Le produit vectoriel de la position r et de la vitesse v, r × v, se calcule immédiatement
r × v =
1
2
ω ˆ
z sin 2θ sin δ
et le sens de la rotation est donné par le signe du produit sin 2θ sin δ.
2. L’intensité à l’entrée du polariseur est
I 0 = k
E
2
0 cos
2 θ + E
2
0 sin
2 θ
= kE
2
0