20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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2.5.10 Matrices positives
1. Décomposons A en une partie hermitienne et une partie antihermitienne
A = B + CB = B
†
C = −C
†
On note que (x, Cx) est imaginaire pur
(x, Cx)=( C
† x, x)=(x, C
† x)
∗ = −(x, Cx)
alors que (x, Bx) est réel. Si l’on veut que (x, Ax) soit réel et ≥ 0,i le s t
nécessaire que C =0 . Donnons une démonstration plus explicite. Soit, par
exemple,
x =(x 1 ,x 2 , 0,...,0)
Alors,
(x, Cx)=x
∗
1 C 12 x 2 + x
∗
2 C 21 x 1 =2i Im(x
∗
1 C 12 x 2 )=0= ⇒ C 12 =0
Comme A est hermitienne, elle est diagonalisable. Soit ϕ, un vecteur propre
de A, Aϕ = aϕ. La condition de positivité implique (ϕ, Aϕ)=a||ϕ||
2 ≥ 0 et
donc a ≥ 0.
2. Pour une matrice réelle antisymétrique C
T = −C
(x, Cx)=x 1 C 12 x 2 + x 2 C 21 x 1 = x 1 (C 12 + C 21 )x 2 =0
On peut donc avoir une matrice positive de la forme
A = B + CB
T = BC
T = −C =0
2.5.11 Identités opératorielles
1. Calculons df/dt
df
dt
= e
tA ABe
−tA − e
tA BAe
−tA = e
tA [A, B]e
−tA
La dérivée seconde se calcule de la même façon et le cas général s’obtient par
récurrence.
2. Calculons dg/dt
dg
dt
= e
tA (A + B)e
tB
et utilisons le résultat de la question précédente
e
tA B = e
tA Be
−tA e
tA =(B + t[A, B])e
tA