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Physique quantique : Exercices et applications
2. La probabilité de diffusion par le cristal est
|f tot |
2 =
i,j
α i f 1 +(1− α i )f 2
α j f 1 +(1− α j )f 2
e
i q·( ri− rj )
=
i,j
(p
2
1 + p 1 p 2 δ ij )f
2
1 +2p 1 p 2 (1 − δ ij )f 1 f 2 +(p
2
2 + p 1 p 2 δ ij )f
2
2
×e
i q·( ri− rj)
=
i,j
(p 1 f 1 + p 2 f 2 )
2 e
i q·( ri− rj ) + N p 1 p 2 (f 1 − f 2 )
2
Le premier terme donne lieu à des pics de diffraction, mais le second est un
fond continu.
20.2 Exercices du chapitre 2
2.5.3 Déterminant et trace
1. Soit A(t)=A(0) exp(Bt). Calculons la dérivée
d
dt
A(0)e
Bt = A(0)e
Bt B = A(t)B
La solution de
dA
dt
= BA(t)
est
A(t)=e
Bt A(0)
2. On remarque que pour δt infinitésimal
det e
Aδt ≃ det(I + Aδt)=1+δtTr A + O(δt)
2
Par exemple, pour une matrice 2 × 2
det
1+A 11 δt
A 12 δt
A 21 δt
1+A 22 δt
=1+(A 11 + A 22 )δt +(A 11 A 22 − A 12 A 21 )(δt)
2
Soit g(t) = det[exp(At)],
g
′ (t) = lim
δt→0
1
δt
det e
A(t+δt) − det e
At
=
1
δt
det e
Aδt − 1
det e
At =
1
δt
[δtTr A]dete
At =T rAg(t)
et on obtient pour g(t) l’équation différentielle
g
′ (t)=[T rA]g(t)= ⇒ g(t)=e
tTr A
en utilisant la condition aux limites g(0) = 1. En posant t =1,
g(1) = e
Tr A =det
e
A