20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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1.6.4 Diffraction de neutrons par un cristal
1. L’onde incidente arrivant en r i est déphasée de δ inc = k · r i par rapport
à celle arrivant en r =0, et l’onde diffractée de δ diff = − k
′ · r i .
2. Le produit scalaire q · r i vaut
q · r i = naq x + mbq y
En utilisant la sommation d’une série géométrique
N −1
n=0
x
n =
1 − x
N
1 − x
on évalue par exemple la somme
Σ x =
N −1
n=0
e
−iqxna =
1 − e
−iqxaN
1 − e −iqxa = e
−iqxa(N −1)/2 sin q x aN/2
sin q x a/2
d’où l’on déduit la fonction F (aq x ,bq y ) de l’énoncé.
3. Supposons que q x diffère très peu de 2πn x /a,o ùn x est un entier :
q x a =2πn x + ε.A l o r s ,
sin
q x aN
2
=s i n
πn x N + ε
N
2
= ± sin
εN
2
sin
q x a
2
=s i n
πn x +
1
2
ε
= ± sin
ε
2
La largeur du pic est donc ε ∼ 1/N et sa hauteur est obtenue en prenant la
limite ε → 0
lim
ε→0
sin
2 εN/2
sin
2 ε/2
= N
2
ce qui donne une intensité dans le pic ∼ N
2 × 1/N = N . Le même calcul se
répète dans la direction y.
4. La condition de diffusion élastique est
k
2 = k
′ 2 =( k + q)
2 = k
2 +2 q · k + q
2
soit q
2 +2 q · k =0. Supposons que n x =0(ou q x =0)e td o n ck
′
x = k x
k
′
x = k x
k
′
y = k y −
2πn y
b
La condition de diffusion élastique est |k
′
y | = |k y |, ce qui implique
k y =
πn y
b
k
′
y = −
πn y
b