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Physique quantique : Exercices et applications
Cette longueur d’onde est une fraction ∼ 1/300 du diamètre de la molécule.
4. La distance de la masse M 1 au centre d’inertie de la molécule est
r 1 =
M 2
M 1 + M 2
r 0
et le moment d’inertie
I = M 1 r
2
1 + M 2 r
2
2 =
M 1 M 2
M 1 + M 2
r
2
0 = μr
2
0
L’énergie cinétique de rotation est, en fonction du moment angulaire J = Iω
E rot =
1
2
Iω
2 =
J
2
2I
et pour J = , cela donne ε rot =
2 /(2I)
ε rot =
2
2μr 2
0
=
2
2μb 2 a 2
0
=
m
b 2 μ
R ∞
en utilisant R ∞ = e
2 /(2a 0 ) et a 0 =
2 /(me
2 ).
5. La constante élastique K vaut
K =
2cR ∞
b 2 a 2
0
=
4cmR
2
∞
2 b 2
soit
ω v =2
c
b 2
m
μ
R ∞
Pour la molécule de HCl, on a μ =0.97m p et m/μ =5.6 × 10
−4 .Onendéduit
b =2.4 et c =1.75 : ce sont bien des nombres voisins de l’unité.
6. La dimension de G s’obtient aisément en remarquant que Gm
2 /r est
une énergie. On trouve pour cette dimension M
−1 L
3 T
−2 .Laquantité
c/G
a les dimensions d’une masse, ce qui donne pour l’énergie de Planck
E P =
c
G
c
2 =1.9 × 10
9 J=1.2 × 10
19 GeV
et pour la longueur de Planck
l P =
c
G
c
=1.6 × 10
−35 m
L’énergie de Planck est considérable par rapport aux énergies maximales atteintes en physique des particules élémentaires (environ 8 TeV= 8000 GeV,
énergie atteinte aujourd’hui par le LHC au CERN), et par voie de conséquence
la longueur de Planck est très petite par rapport aux distances actuellement
explorées qui sont ∼ 10
−18 m.