19. Physique quantique relativiste
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19.6.8 Équation de Dirac
1. Montrer que (19.101) se déduit des équations (19.97) pour χ et ϕ et de
la définition (19.98) du spineur de Dirac ψ en fonction de χ et ϕ.
2. Vérifier les relations de commutation (19.103) des matrices de Dirac.
3. On utilise la représentation de Dirac (19.104) des matrices γ
µ et on
écrit le spineur de Dirac sous la forme
ψ =
˜
Ψ
˜
Φ
Montrer que l’on retrouve directement l’équation (19.123).
19.6.9 Courant de Dirac en présence d’un champ
magnétique
1. Partant de l’expression j
µ = ψγ
µ ψ du courant de Dirac, et utilisant la
représentation de Dirac des matrices γ
µ comme dans l’exercice 19.6.8 question 3, établir l’expression approchée (19.126) du courant de Dirac en présence
d’un champ magnétique.
19.6.10 Transformation de Lorentz d’un spineur
de Dirac
1. On se propose de montrer que l’équation
(i∂ /
′ − m)ψ
′ (x
′ )=0
où ψ
′ (x
′ )=S(Λ)ψ(x), se déduit de (i∂ / − m)ψ(x)=0. En utilisant la relation
∂x
ν /∂x
′ µ =( Λ
−1 )
ν
µ ,m o n t r e rq u eψ
′ (x
′ ) vérifie l’équation de Dirac pourvu
que
S
−1 (Λ)γ
µ S(Λ) = Λ
µ
ν γ
ν
2. On choisit Λ voisine de l’identité
Λ
µ
ν = g
µ
ν + ̟
µ
ν
S(Λ) = I −
i
4
ω αβ σ
αβ
avec ω µν = g µλ ̟
λ
ν .M o n t r e rq u eσ αβ doit obéir à
[σ αβ ,γ
µ ]=2i[g
µβ γ
α − g
µα γ
β ]
et vérifier que σ
αβ =(i/2)[γ
α ,γ
β ] satisfait bien à cette relation de commutation. Calculer les matrices σ
µν dans la base chirale.