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Physique quantique : Exercices et applications
19.6.11 Relations d’orthogonalité
1. Partant des expressions (19.176) de u
(r) ( 0) et v
(r) ( 0) et utilisant
2
r=1
u
(r)
α ( 0)u
(r)
β ( 0) =
I 0
00
αβ
=
1
2
(γ
0 + I) αβ
−
2
r=1
v
(r)
α ( 0)v
(r)
β ( 0) =
00
0 I
αβ
= −
1
2
(γ
0 − I) αβ
démontrer les relations de fermeture (19.181).
2. Montrer ensuite les relations d’orthogonalité (19.191).
19.6.12 Relation de Parseval
On se place pour simplifier à une dimension d’espace où la particule est
confinée dans l’intervalle [0,L]. Les valeurs possibles de k sont
k n =
2πn
L
n = ...,−2, −1, 0, 1, 2,...
On définit la transformée de Fourier ˜
f (k) d’un fonction de x, 0 ≤ x ≤ L par
˜
f (k)=
1
√
L
L
0
dx e
ikx f (x)
Montrer que la transformation inverse est
f (x)=
1
√
L
k
˜
f (k)e
−ikx
En déduire la relation de Parseval
L
0
dxf(x)g(x)=
k
˜
f (k)˜ g(−k)
La généralisation à trois dimensions est immédiate.
19.7 Bibliographie
Il existe de nombreux livre de relativité, parmi lesquels celui de Taylor
et Wheeler [1963], Jackson [2001], chapitre 11 ou Gourgoulhon [2010]. La
rotation de Thomas-Wigner est traitée dans Taylor et Wheeler [1963], exercice 103, Jackson [2001] chapitre 11, ou Gourgoulhon [2010], chapitre 6. Les
représentations du groupe de Poincaré sont discutées dans Wightman [1960],
Physique quantique : Exercices et applications
19.6.11 Relations d’orthogonalité
1. Partant des expressions (19.176) de u
(r) ( 0) et v
(r) ( 0) et utilisant
2
r=1
u
(r)
α ( 0)u
(r)
β ( 0) =
I 0
00
αβ
=
1
2
(γ
0 + I) αβ
−
2
r=1
v
(r)
α ( 0)v
(r)
β ( 0) =
00
0 I
αβ
= −
1
2
(γ
0 − I) αβ
démontrer les relations de fermeture (19.181).
2. Montrer ensuite les relations d’orthogonalité (19.191).
19.6.12 Relation de Parseval
On se place pour simplifier à une dimension d’espace où la particule est
confinée dans l’intervalle [0,L]. Les valeurs possibles de k sont
k n =
2πn
L
n = ...,−2, −1, 0, 1, 2,...
On définit la transformée de Fourier ˜
f (k) d’un fonction de x, 0 ≤ x ≤ L par
˜
f (k)=
1
√
L
L
0
dx e
ikx f (x)
Montrer que la transformation inverse est
f (x)=
1
√
L
k
˜
f (k)e
−ikx
En déduire la relation de Parseval
L
0
dxf(x)g(x)=
k
˜
f (k)˜ g(−k)
La généralisation à trois dimensions est immédiate.
19.7 Bibliographie
Il existe de nombreux livre de relativité, parmi lesquels celui de Taylor
et Wheeler [1963], Jackson [2001], chapitre 11 ou Gourgoulhon [2010]. La
rotation de Thomas-Wigner est traitée dans Taylor et Wheeler [1963], exercice 103, Jackson [2001] chapitre 11, ou Gourgoulhon [2010], chapitre 6. Les
représentations du groupe de Poincaré sont discutées dans Wightman [1960],