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Physique quantique : Exercices et applications
19.6.5 Cas de la masse nulle
1. On écrit la transformation de SL(2, C) d’un quadrivecteur x → x
′ sous
la forme x
′
−
= Ax
−
A
† ,o ùl am a t r i c eA ∈ SL(2, C) est donnée par (19.72) ; on
rappelle
x
−
=
x
+
x
1 − ix
2
x
1 + ix
2
x
−
x
± = x
0 ± x
3
Calculer x
′ en prenant z et φ infinitésimaux, z = ε, |ε|≪1. En déduire les
transformés x
′ + , x
′ 1 et x
′ 2 des coordonnées de x ;o nn o t e r aq u ex
′ − = x
− .
2. Revenant aux coordonnées x
0 et x
3 , démontrer (19.73) et (19.74).
3. Définissant les générateurs
C = K 1 + K 2
D = K 2 − J 1
montrer les relations de commutation
[J 3 ,C]=iD
[J 3 ,D]=−iC
et en déduire
e
iθJ3 C e
−iθJ3 = C cos θ − D sin θ
e
iθJ3 D e
−iθJ3 = D cos θ + C sin θ
Montrer que si C et D ont deux valeurs propres non nulles, alors ces valeurs
propres forment un continuum, et donc que ces valeurs propres doivent être
nulles.
19.6.6 Courant de Klein-Gordon
Vérifier la loi de conservation (19.85) du courant de Klein-Gordon.
19.6.7 Automorphismes de SL(2, C)
1. On s’intéresse d’abord à l’automorphisme A → (A
T )
−1 .P a r t a n td el a
forme générale de A,a v e ca et b complexes
A = a + σ · ba
2 − b
2 =1
montrer que
(A
T )
−1 = a − σ 1 b 1 + σ 2 b 2 − σ 3 b 3
Calculer ensuite ζσ i ζ
−1 ,o ùl am a t r i c eζ est définie au § 19.3.1, et en déduire
(A
T )
−1 = ζAζ
−1
2. Montrer qu’il n’existe pas de matrice ζ telle que
(A
† )
−1 = ζAζ
−1