19. Physique quantique relativiste
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où a est l’accélération. D’après (15.17), l’électron voit dans son référentiel
propre un champ magnétique
B ≃−
1
qm
1
r
dV
dr
l
où l est le moment angulaire l = r ×
p. Si l’on prend pour simplifier un facteur
gyromagnétique égal à q/m, montrer que l’équation du mouvement du spin s
est
d s
dt
= s ×
q
m
B − ω
et l’énergie magnétique correspondante est
W so = −
q
m
B − ω
· s
En déduire le couplage spin-orbite
W so =
1
2m 2
1
r
dV
dr
l · s
et justifier la valeur du hamiltonien de structure fine (15.20). La précession
de Thomas a réduit W so par un facteur 2.
19.6.4 Relation de commutation des J µν et des W λ
1. Pour calculer le commutateur de J µν et de W λ ,o np a r td e
i[J µν ,W λ ]=−
i
2
g µα g νβ [J
αβ ,ε λστ ρ J
στ P
ρ ]
Évaluer le commutateur
X = ig µα g νβ ε λστ ρ [J
αβ ,J
στ P
ρ ]
= ig µα g νβ ε λστ ρ [J
αβ ,J
στ ]P
ρ + ig µα g νβ J
στ ε λστ ρ [J
αβ ,P
ρ ]=X 1 + X 2
Montrer que
X 1 =2 [ ε λντ ρ J
τ
µ P
ρ − ε λµτ ρ J
τ
ν P
ρ ]
X 2 = ε λστ ν J
στ P µ − ε λστ µ J
στ P ν
2. Pour évaluer X 1 et X 2 , on examine deux cas de figure.
(i) μ = ν = λ : les indices μ, ν, λ sont tous différents.
(ii) μ = λ = ν ; le cas où ν = λ se déduit en permutant les indices μ et ν.
Montrer que dans le cas (i), X 1 + X 2 =0e tq u ed a n sl ec a s( i i ) ,o nr e t r o u v e
la seconde des équations (19.59).