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Physique quantique : Exercices et applications
Vérifier ce résultat en prenant la limite de ceux de la question 4.Encomparant
à (19.53), montrer que Λ 2 Λ
−1
1
se décompose en deux boosts infinitésimaux
de rapidité ε le long de ˆ
x
1 et sθ le long de ˆ
x
2 et d’une rotation d’angle
δφ TW =(c − 1)θ autour de l’axe ˆ
x
3 .
6. Précession de Thomas. Montrer que la rotation de Thomas-Wigner peut
s’écrire en fonction des vitesses sous forme vectorielle
δφ TW =
c
2
c +1
v × δv
c =coshχ =1/
1 − v 2
Rappelons un résultat de mécanique classique : la variation d’un vecteur
G
dans un référentiel en rotation avec la vitesse angulaire ω est
d
G
dt
=
d
G
dt
ref. propre
+ ω ×
G
Les référentiels propres de l’électron en rotation autour du noyau atomique
sont définis par les boosts (en l’absence de toute de rotation !) faisant passer
du référentiel du laboratoire R aux référentiels propres R
′ et R
′′
x
′ =Λ 1 (χ, ˆ
x
1 )xx
′′ =Λ 2 (χ + ε, ˆ
n)x
L’évolution du référentiel propre R
′ vers le référentiel propre R
′′ entre t et
t + δt est pilotée par le boost infinitésimal S de la question 5,s o i tx
′′′ =
Sx
′ . Utilisant le fait que SR = RS pour des transformations infinitésimales,
montrer que le passage du référentiel du laboratoire R à R
′′′ s’écrit
x
′′′ = R(−δφ TW )Λ 2 (χ + ε, ˆ
n)x
Le référentiel R
′′′ a donc tourné d’un angle −δφ TW . Montrer que la vitesse
angulaire de précession est
ω =
c
2
c +1
a × v
où a est l’accélération. Dans un calcul à tous les ordres en v, nous devrions
tenir compte de
d
G
dt
ref. propre
=
1
c
d
G
dτ
où τ est le temps propre. Nous allons nous limiter au cas v ≪ 1 et donc γ ≃ 1.
Montrer que par conséquent
δ
φ TW ≃
1
2
v × δδ v
et en déduire la vitesse angulaire de rotation
ω = − lim
δt→0
δ
φ TW
δt
=
1
2
a × v