19. Physique quantique relativiste
863
ce qui permet de simplifier l’expression de cos φ TW
cos φ TW =Λ
1
1 −
Λ
1
0 Λ
0
1
1+coshζ
4. Pour calculer les quatre éléments de matrice Λ
µ
ν nécessaires, il est commode de poser
c 1 =coshχs 1 =sinhχ
c 2 =coshηs 2 =sinhη
Montrer que
Λ
0
0 =coshζ = c 1 c 2 + s 1 s 2 cos θ
Λ
1
0 = −s 2 c 1 cos θ − s 1 [1 + (c 2 − 1) cos
2 θ]
Λ
0
1 = −s 1 c 2 − c 1 s 2 cos θ
Λ
1
1 = s 1 s 2 cos θ + c 1 [1 + (c 2 − 1) cos
2 θ]
En déduire
cos φ TW =1−
(c 1 − 1)(c 2 − 1)
1+coshζ
sin
2 θ
Calculer le sinus de l’angle de rotation à l’aide de
sin φ TW = Re
(1) · e
(2) =Λ 2 Λ 1 e
(1) · Se
(2 )
où e
(2) =(0, 0, 1, 0) et montrer que
sin φ TW = −
sin θ
1+coshζ
[s 1 s 2 +(c 1 − 1)(c 2 − 1) cos θ]
5. On s’intéresse maintenant au cas où le second boost diffère du premier
de façon infintésimale : η = χ + ε, |ε|≪1 et |θ|≪1. Il suffira de se limiter
au premier ordre en ε et θ. La vitesse du premier boost est v =ˆ x
1 tanh χ et
celle du second
v + δδ v =ˆ n tanh(χ + ε)
Montrer que les composantes δv
1 et δv
2 de δ v sont
δv
1 ≃
ε
cosh
2 χ
δv
2 ≃ θ tanh χ
Au lieu du produit Λ 2 Λ 1 ,o nc o n s i d è r eΛ=Λ 2 Λ
−1
1 . Posant c =c o s h χ et
s =sinhχ, effectuer le produit Λ 2 Λ
−1
1 en utilisant
cosh(χ + ε) ≃ c + εs
sinh(χ + ε) ≃ s + εc
sin θ ≃ θ
Λ 2 Λ
−1
1 =
⎛
⎝
1
−ε
−sθ
−ε
1( c − 1)θ
−sθ −(c − 1)θ
1
⎞
⎠
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ce qui permet de simplifier l’expression de cos φ TW
cos φ TW =Λ
1
1 −
Λ
1
0 Λ
0
1
1+coshζ
4. Pour calculer les quatre éléments de matrice Λ
µ
ν nécessaires, il est commode de poser
c 1 =coshχs 1 =sinhχ
c 2 =coshηs 2 =sinhη
Montrer que
Λ
0
0 =coshζ = c 1 c 2 + s 1 s 2 cos θ
Λ
1
0 = −s 2 c 1 cos θ − s 1 [1 + (c 2 − 1) cos
2 θ]
Λ
0
1 = −s 1 c 2 − c 1 s 2 cos θ
Λ
1
1 = s 1 s 2 cos θ + c 1 [1 + (c 2 − 1) cos
2 θ]
En déduire
cos φ TW =1−
(c 1 − 1)(c 2 − 1)
1+coshζ
sin
2 θ
Calculer le sinus de l’angle de rotation à l’aide de
sin φ TW = Re
(1) · e
(2) =Λ 2 Λ 1 e
(1) · Se
(2 )
où e
(2) =(0, 0, 1, 0) et montrer que
sin φ TW = −
sin θ
1+coshζ
[s 1 s 2 +(c 1 − 1)(c 2 − 1) cos θ]
5. On s’intéresse maintenant au cas où le second boost diffère du premier
de façon infintésimale : η = χ + ε, |ε|≪1 et |θ|≪1. Il suffira de se limiter
au premier ordre en ε et θ. La vitesse du premier boost est v =ˆ x
1 tanh χ et
celle du second
v + δδ v =ˆ n tanh(χ + ε)
Montrer que les composantes δv
1 et δv
2 de δ v sont
δv
1 ≃
ε
cosh
2 χ
δv
2 ≃ θ tanh χ
Au lieu du produit Λ 2 Λ 1 ,o nc o n s i d è r eΛ=Λ 2 Λ
−1
1 . Posant c =c o s h χ et
s =sinhχ, effectuer le produit Λ 2 Λ
−1
1 en utilisant
cosh(χ + ε) ≃ c + εs
sinh(χ + ε) ≃ s + εc
sin θ ≃ θ
Λ 2 Λ
−1
1 =
⎛
⎝
1
−ε
−sθ
−ε
1( c − 1)θ
−sθ −(c − 1)θ
1
⎞
⎠