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Physique quantique : Exercices et applications
écrite dans le point de vue passif. En utilisant (19.7), montrer que la matrice
représentative de ce boost est
Λ 2 =
⎛
⎜
⎜
⎝
cosh η
− sinh η cos θ
− sinh η sin θ
0
− sinh η cos θ 1+(coshη − 1) cos
2 θ (cosh η − 1) sin θ cos θ 0
− sinh η sin θ (cosh η − 1) sin θ cos θ 1+(coshη − 1) sin
2 θ 0
00
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠
On remarquera (i) que Λ 2 est symétrique : Λ
T
2 =Λ 2 comme il se doit pour un
boost, (ii) qu’il suffit par la suite de considérer des matrices 3 × 3 en écrivant
Λ 2 =
Λ 2 0
01
2. On combine deux boosts, le premier Λ 1 de rapidité χ suivant ˆ
x
1 et le
second donné par la question précédente. Le problème est de montrer que le
produit
Λ=Λ 2 Λ 1
des deux boosts est le produit Λ=SR d’un boost S par une rotation R
autour de ˆ
x
3 , et de déterminer les paramètres des transformations S et R ; R
est la rotation de Thomas-Wigner. S est un boost de rapidité ζ suivant un
axe ˆ
k
ˆ
k = { ˆ
k
1 =cosψ, ˆ
k
2 =sinψ, ˆ
k
3 =0}
dont l’expression matricielle se déduit de la question 1 par les substitutions
η → ζ et θ → ψ. Notre premier objectif est de déterminer les paramètres ζ et
ˆ
k.S o i te
(0) le quadrivecteur de composantes (1, 0, 0, 0). Ce vecteur n’est pas
affecté par une rotation. En déduire
S
0
0 =Λ
0
0 =coshζS
1
0 =Λ
1
0 = − sinh ζ cos ψS
2
0 =Λ
2
0 = − sinh ζ cos ψ
En examinant l’expression de S, montrer de plus que
S
1
1 =1+
(Λ
1
0 )
2
1+coshζ
S
2
2 =
Λ
1
0 Λ
2
0
1+coshζ
3. Pour obtenir l’angle φ TW de la rotation de Thomas-Wigner autour de
ˆ
x
3 , on examine la transformation du quadrivecteur e
(1) =( 0 , 1, 0, 0) et on
calcule les produits scalaires
[S
−1 Λ 2 Λ 1 ] e
(1) · e
(1) =[Λ]e
(1) · [S] e
(1)
Montrer que
cos φ TW = −[Λ] e
(1) ·[S] e
(1) = −Λ
0
1 Λ
1
0 +Λ
1
1
1+
(Λ
1
0 )
2
1+coshζ
+Λ
2
1
Λ
1
0 Λ
2
0
1+coshζ
En utilisant (19.14), montrer
−Λ
0
0 Λ
0
1 +Λ
1
0 Λ
1
1 +Λ
2
0 Λ
2
1 =0
Physique quantique : Exercices et applications
écrite dans le point de vue passif. En utilisant (19.7), montrer que la matrice
représentative de ce boost est
Λ 2 =
⎛
⎜
⎜
⎝
cosh η
− sinh η cos θ
− sinh η sin θ
0
− sinh η cos θ 1+(coshη − 1) cos
2 θ (cosh η − 1) sin θ cos θ 0
− sinh η sin θ (cosh η − 1) sin θ cos θ 1+(coshη − 1) sin
2 θ 0
00
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠
On remarquera (i) que Λ 2 est symétrique : Λ
T
2 =Λ 2 comme il se doit pour un
boost, (ii) qu’il suffit par la suite de considérer des matrices 3 × 3 en écrivant
Λ 2 =
Λ 2 0
01
2. On combine deux boosts, le premier Λ 1 de rapidité χ suivant ˆ
x
1 et le
second donné par la question précédente. Le problème est de montrer que le
produit
Λ=Λ 2 Λ 1
des deux boosts est le produit Λ=SR d’un boost S par une rotation R
autour de ˆ
x
3 , et de déterminer les paramètres des transformations S et R ; R
est la rotation de Thomas-Wigner. S est un boost de rapidité ζ suivant un
axe ˆ
k
ˆ
k = { ˆ
k
1 =cosψ, ˆ
k
2 =sinψ, ˆ
k
3 =0}
dont l’expression matricielle se déduit de la question 1 par les substitutions
η → ζ et θ → ψ. Notre premier objectif est de déterminer les paramètres ζ et
ˆ
k.S o i te
(0) le quadrivecteur de composantes (1, 0, 0, 0). Ce vecteur n’est pas
affecté par une rotation. En déduire
S
0
0 =Λ
0
0 =coshζS
1
0 =Λ
1
0 = − sinh ζ cos ψS
2
0 =Λ
2
0 = − sinh ζ cos ψ
En examinant l’expression de S, montrer de plus que
S
1
1 =1+
(Λ
1
0 )
2
1+coshζ
S
2
2 =
Λ
1
0 Λ
2
0
1+coshζ
3. Pour obtenir l’angle φ TW de la rotation de Thomas-Wigner autour de
ˆ
x
3 , on examine la transformation du quadrivecteur e
(1) =( 0 , 1, 0, 0) et on
calcule les produits scalaires
[S
−1 Λ 2 Λ 1 ] e
(1) · e
(1) =[Λ]e
(1) · [S] e
(1)
Montrer que
cos φ TW = −[Λ] e
(1) ·[S] e
(1) = −Λ
0
1 Λ
1
0 +Λ
1
1
1+
(Λ
1
0 )
2
1+coshζ
+Λ
2
1
Λ
1
0 Λ
2
0
1+coshζ
En utilisant (19.14), montrer
−Λ
0
0 Λ
0
1 +Λ
1
0 Λ
1
1 +Λ
2
0 Λ
2
1 =0