19. Physique quantique relativiste
861
2. On définit le vecteur unitaire ˆ
n par
Λ
i
0 = −ˆ n
i sinh η
Montrer que la transformation de Lorentz spéciale S de rapidité η et de direction ˆ
n (voir (19.7)) vérifie Se 0 = e
′
0 . En déduire que R = S
−1 Λ est une
rotation. On peut donc écrire Λ comme le produit d’une transformation de
Lorentz spéciale et d’une rotation : Λ=SR.
3. Pour montrer que cette décomposition est unique, supposons que Λ=
S
′ R
′ ,e td o n cS
′ = SRR
−1 .M o n t r e rq u eS
′ e 0 = Se 0 et en déduire que S et
S
′ sont identiques.
19.6.2 Relations de commutation des J
αβ
et des P
µ
En prenant a infinitésimal, a = ε et identifiant les coefficient de ε α dans
les deux membres de (19.41), montrer les relations de commutation
i[J
αβ ,P
σ ]=g
σβ P
α − g
σα P
β
19.6.3 Rotation de Thomas-Wigner et précession
de Thomas
L’objectif de cet exercice est d’abord de montrer que le produit de deux
transformations de Lorentz spéciales, ou boosts, de rapidités χ et η suivant
deux directions différentes est le produit d’un boost S de rapidité ζ par une
rotation R d’angle φ TW autour d’un axe perpendiculaire au plan des deux
boosts : c’est la rotation de Thomas-Wigner. Nous prendrons le premier
boost Λ 1 de rapidité χ le long de ˆ
x
1 et le second Λ 2 de rapidité η le long
d’un axe ˆ
n du plan (ˆ x
1 , ˆ
x
2 ), faisant un angle θ avec ˆ
x
1
Λ=Λ 2 (η, ˆ
n)Λ 1 (χ, ˆ
x
1 )=S(ζ)R(φ TW )
Nous nous proposons de calculer ζ et φ TW en fonction des rapidités η, χ et
de l’angle θ entre les directions des deux boosts.
Les questions 5 et 6 appliquent ces résultats à la précession de Thomas
(§ 15.2.2). Toutefois, on peut aborder directement ces deux dernières questions
avec des calculs plus simples, étant donné qu’il est possible de se limiter au
cas où η et χ diffèrent de façon infinitésimale, et où l’angle θ est petit.
1. Soit Λ 2 (η, ˆ
n), une transformation de Lorentz spéciale (boost) de rapidité
η le long de la direction ˆ
n du plan (ˆ x
1 ˆ
x
2 ),
ˆ
n = {ˆ n
1 =cosθ, ˆ
n
2 =sinθ, ˆ
n
3 =0}
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2. On définit le vecteur unitaire ˆ
n par
Λ
i
0 = −ˆ n
i sinh η
Montrer que la transformation de Lorentz spéciale S de rapidité η et de direction ˆ
n (voir (19.7)) vérifie Se 0 = e
′
0 . En déduire que R = S
−1 Λ est une
rotation. On peut donc écrire Λ comme le produit d’une transformation de
Lorentz spéciale et d’une rotation : Λ=SR.
3. Pour montrer que cette décomposition est unique, supposons que Λ=
S
′ R
′ ,e td o n cS
′ = SRR
−1 .M o n t r e rq u eS
′ e 0 = Se 0 et en déduire que S et
S
′ sont identiques.
19.6.2 Relations de commutation des J
αβ
et des P
µ
En prenant a infinitésimal, a = ε et identifiant les coefficient de ε α dans
les deux membres de (19.41), montrer les relations de commutation
i[J
αβ ,P
σ ]=g
σβ P
α − g
σα P
β
19.6.3 Rotation de Thomas-Wigner et précession
de Thomas
L’objectif de cet exercice est d’abord de montrer que le produit de deux
transformations de Lorentz spéciales, ou boosts, de rapidités χ et η suivant
deux directions différentes est le produit d’un boost S de rapidité ζ par une
rotation R d’angle φ TW autour d’un axe perpendiculaire au plan des deux
boosts : c’est la rotation de Thomas-Wigner. Nous prendrons le premier
boost Λ 1 de rapidité χ le long de ˆ
x
1 et le second Λ 2 de rapidité η le long
d’un axe ˆ
n du plan (ˆ x
1 , ˆ
x
2 ), faisant un angle θ avec ˆ
x
1
Λ=Λ 2 (η, ˆ
n)Λ 1 (χ, ˆ
x
1 )=S(ζ)R(φ TW )
Nous nous proposons de calculer ζ et φ TW en fonction des rapidités η, χ et
de l’angle θ entre les directions des deux boosts.
Les questions 5 et 6 appliquent ces résultats à la précession de Thomas
(§ 15.2.2). Toutefois, on peut aborder directement ces deux dernières questions
avec des calculs plus simples, étant donné qu’il est possible de se limiter au
cas où η et χ diffèrent de façon infinitésimale, et où l’angle θ est petit.
1. Soit Λ 2 (η, ˆ
n), une transformation de Lorentz spéciale (boost) de rapidité
η le long de la direction ˆ
n du plan (ˆ x
1 ˆ
x
2 ),
ˆ
n = {ˆ n
1 =cosθ, ˆ
n
2 =sinθ, ˆ
n
3 =0}