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Physique quantique : Exercices et applications
utiliser pour les particules de spin 1/2 des relations d’anticommutation, sinon
l’énergie ne serait pas bornée inférieurement, et ces particules sont donc des
fermions. L’autre partie du théorème spin-statistique concerne les particules
de spin 0 ou 1 : dans ce cas, on montre qu’avec des relations d’anticommutation
on pourrait construire des opérateurs représentant des quantités physiques qui
ne commutent pas pour des séparations du genre espace, et violent donc la
causalité relativiste : voir le chapitre 11, note 15. Pour les particules de spin 0
et 1, seules sont possibles les relations de commutation, et ces particules sont
donc des bosons.
L’expression (19.192) se généralise aux composantes spatiales de l’énergieimpulsion, et on peut écrire pour l’opérateur énergie-impulsion qui est un
quadrivecteur P
µ
P
µ =
p,r
p
µ
b
†
r ( p)b r ( p)+d
†
r ( p)d r ( p)
(19.193)
Il est également immédiat d’écrire l’opérateur de charge Q tel que la charge
du vide soit nulle, Q|0 =0
Q = q
d
3 x ψ(x)γ
0 ψ(x)=q
p,r
b
†
r ( p)b r ( p) − d
†
r ( p)d r ( p)
(19.194)
Les équations (19.192) et (19.194) mettent en évidence l’interprétation physique des opérateurs b r , d r et leurs hermitiens conjugués : b
†
r ( p) crée une
particule de charge q dans un état de spin r et d’impulsion
p, tandis que d
†
r ( p)
crée une particule de charge −q dans un état de spin r et d’impulsion
p.S i ,
par convention, la charge de la particule est q, b
†
r ( p) crée une particule et
d
†
r ( p) crée une antiparticule. Le champ ψ(x) crée une charge −q via d
†
r ( p) et
détruit une charge q via b r ( p), tandis que le champ ψ(x) crée une charge q
via b
†
r ( p) et détruit une charge −q via d r ( p). Les opérateurs b
†
r ( p) b r ( p) sont
des opérateurs nombre de particules de spin r et d’impulsion
p, tandis que les
opérateurs d
†
r ( p) d r ( p) sont des opérateurs nombre d’antiparticules de spin r
et d’impulsion
p.
19.6 Exercices
19.6.1 Décomposition polaire d’une transformation
de Lorentz
Soit e 0 le vecteur unitaire de genre temps de composantes (1, 0) dans une base
donnée de l’espace de Minkowski, et e
′
0 son transformé par Λ : e
′
0 =Λe 0 .
1. Montrer que les coordonnées de e
′
0 sont
e
′
0 =(Λ
0
0 , Λ
1
0 , Λ
2
0 , Λ
3
0 )
et par conséquent Λ
0
0 =coshη.
Physique quantique : Exercices et applications
utiliser pour les particules de spin 1/2 des relations d’anticommutation, sinon
l’énergie ne serait pas bornée inférieurement, et ces particules sont donc des
fermions. L’autre partie du théorème spin-statistique concerne les particules
de spin 0 ou 1 : dans ce cas, on montre qu’avec des relations d’anticommutation
on pourrait construire des opérateurs représentant des quantités physiques qui
ne commutent pas pour des séparations du genre espace, et violent donc la
causalité relativiste : voir le chapitre 11, note 15. Pour les particules de spin 0
et 1, seules sont possibles les relations de commutation, et ces particules sont
donc des bosons.
L’expression (19.192) se généralise aux composantes spatiales de l’énergieimpulsion, et on peut écrire pour l’opérateur énergie-impulsion qui est un
quadrivecteur P
µ
P
µ =
p,r
p
µ
b
†
r ( p)b r ( p)+d
†
r ( p)d r ( p)
(19.193)
Il est également immédiat d’écrire l’opérateur de charge Q tel que la charge
du vide soit nulle, Q|0 =0
Q = q
d
3 x ψ(x)γ
0 ψ(x)=q
p,r
b
†
r ( p)b r ( p) − d
†
r ( p)d r ( p)
(19.194)
Les équations (19.192) et (19.194) mettent en évidence l’interprétation physique des opérateurs b r , d r et leurs hermitiens conjugués : b
†
r ( p) crée une
particule de charge q dans un état de spin r et d’impulsion
p, tandis que d
†
r ( p)
crée une particule de charge −q dans un état de spin r et d’impulsion
p.S i ,
par convention, la charge de la particule est q, b
†
r ( p) crée une particule et
d
†
r ( p) crée une antiparticule. Le champ ψ(x) crée une charge −q via d
†
r ( p) et
détruit une charge q via b r ( p), tandis que le champ ψ(x) crée une charge q
via b
†
r ( p) et détruit une charge −q via d r ( p). Les opérateurs b
†
r ( p) b r ( p) sont
des opérateurs nombre de particules de spin r et d’impulsion
p, tandis que les
opérateurs d
†
r ( p) d r ( p) sont des opérateurs nombre d’antiparticules de spin r
et d’impulsion
p.
19.6 Exercices
19.6.1 Décomposition polaire d’une transformation
de Lorentz
Soit e 0 le vecteur unitaire de genre temps de composantes (1, 0) dans une base
donnée de l’espace de Minkowski, et e
′
0 son transformé par Λ : e
′
0 =Λe 0 .
1. Montrer que les coordonnées de e
′
0 sont
e
′
0 =(Λ
0
0 , Λ
1
0 , Λ
2
0 , Λ
3
0 )
et par conséquent Λ
0
0 =coshη.