19. Physique quantique relativiste
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fonctions f ( x) et g( x) en fonction de leurs transformées de Fourier ˜
f ( p) et
˜
g( p) (exercice 19.6.12)
d
3 xf( x) g( x)=
p
˜
f ( p)˜ g(− p)
(19.189)
Dans le cas qui nous concerne, les coefficients de Fourier de ψ(x) et de
∂ψ(x)/∂t sont respectivement
ψ(t, ,
p)=
r
d r ( p)v
(r) ( p)e
−iEpt + b
†
r (− p)u
(r) (− p)e
iEpt
∂
∂t
ψ(t, − p)= −i
s
E p [b s (− p)u(s)( p)e
−iEpt − d
†
s (− p)v
(s) ( p)e
iEpt
(19.190)
Pour calculer H, nous avons besoin des relations d’orthogonalité (exercice
19.6.10)
v
(r) ( p)γ
0 u
(s) ( p)=0
v
(r) ( p)γ
0 v
(s) ( p)=u
(r) ( p)γ
0 u
(s) ( p)=δ rs
(19.191)
qui permettent d’exprimer H en fonction des opérateurs de création et d’annihilation
H =
p,r
E p
b
†
r ( p)b r ( p) − d r ( p)d
†
r ( p)
Si l’on veut que H annule l’état du vide |0, H|0 =0 , il faut mettre les
opérateurs d r et d
†
r dans l’ordre normal d
†
r d r , ce qui est possible grâce aux
relations d’anticommutation (19.183)
−d r d
†
r = −I + d
†
r d r
En définissant le zéro d’énergie de telle sorte que l’énergie du vide soit nulle,
H|0 =0, on donne à H sa forme finale
H =
p,r
E p
b
†
r ( p)b r ( p)+d
†
r ( p)d r ( p)
(19.192)
Le point crucial dans le raisonnement ci-dessus est que nous avons dû utiliser
les relations d’anticommutation. Avec des relations de commutation [d r ,d
†
r ]=
I, nous aurions trouvé
−d r d
†
r = −I − d
†
r d r
et le hamiltonien n’aurait pas été borné inférieurement. Le résultat (19.192)
peut être vu comme un cas particulier du théorème spin-statistique : il faut