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Physique quantique : Exercices et applications
section 14.3
ψ α (t, , x)=
1
√
V
p,r
b r ( p)u
(r)
α ( p)e
−ip·x + d
†
r ( p)v
(r)
α ( p)e
ip·x
ψ α (t, , x)=
1
√
V
p,r
b
†
r ( p)u
(r)
α ( p)e
ip·x + d r ( p)v
(r)
α ( p)e
−ip·x
(19.184)
Les opérateurs d’annihilation b r ( p) et d r ( p) sont associés comme il se doit aux
ondes planes d’énergie positive exp(−ip · x) et leurs hermitiens conjugués aux
ondes planes d’énergie négative exp(ip · x) ; α est un indice de Dirac allant
de 1 à 4, puisqu’un spineur de Dirac possède 4 composantes. On déduit de
(19.184) l’anticommutateur à temps égaux de ψ et ψ
{ψ α (t, , x), ψ β (t, , x
′ )} =
1
V
δ αβ
p
e
i p·( x− x
′ ) = δ αβ δ( x − x
′ ) I
(19.185)
qui généralise les relations d’anticommutation (14.55) du champ scalaire.
19.5.3 Hamiltonien du champ de Dirac
Afin de conclure cette section consacrée à la quantification du champ de
Dirac, il reste à écrire l’expression du hamiltonien et celle de la charge électrique. L’équation de Dirac se déduit de la densité de Lagrangien L
L(x)=ψ(x)(i ∂ / − m)ψ(x)=ψ(x)(i
←
∂ / − m)ψ(x)=ψ(x)(
i
2
↔
∂ / − m)ψ(x)
(19.186)
où l’équivalence des différentes formes de L résulte d’intégrations par parties
dans l’expression de l’action S =
d
4 x L(x). Le moment conjugué π α se
déduit des équations d’Euler-Lagrange
π α =
∂L
∂(∂ 0 ψ α )
= iψ β γ
0
βα = iψ
†
α
(19.187)
ce qui donne pour la densité de hamiltonien H
H =
α
π α
∂ψ α
∂t
−L
et pour le hamiltonien
H = i
d
3 x ψ(x)γ
0 ∂ψ(x)
∂t
(19.188)
étant donné que L =0si ψ(x) obéit à l’équation de Dirac. Pour évaluer
H en fonction des opérateurs de création et d’annihilation, nous utilisons
la relation de Parseval qui permet d’exprimer le produit scalaire des deux