19. Physique quantique relativiste
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et pour les spineurs d’énergie négative
−
2
r=1
v
(r)
α ( 0)v
(r)
β ( 0) =
00
0 I
αβ
= −
1
2
(γ
0 − I) αβ
d’où pour
p =0(exercice 19.6.11)
2
r=1
u
(r)
α ( p)u
(r)
β ( p)=
p / + m
2m
αβ
=(Λ + ( p)) αβ
−
2
r=1
v
(r)
α ( p)v
(r)
β ( p)=−
p / − m
2m
αβ
=(Λ − ( p)) αβ
(19.181)
L’équation précédente définit deux pseudoprojecteurs Λ + ( p) et Λ − ( p) qui vérifient
Λ + +Λ − = I
Λ + Λ − =Λ − Λ + =0
Λ
2
± =Λ ±
(19.182)
Si
p =0, Λ + et Λ − sont hermitiens et sont effectivement des projecteurs. Ce
n’est pas le cas lorsque p =0car alors les Λ ± ne sont plus hermitiens mais
obéissent à
(Λ ± )
† = γ
0 Λ ± γ
0
19.5.2 Champ de Dirac quantifié
La quantification du champ de Dirac procède par analogie avec celle du
champ électromagnétique : le rôle des polarisations e s ( k) est joué par les spineurs de Dirac u
(r) ( p) et v
(r) ( p). Cependant, nous devons bien entendu tenir
compte du caractère fermionique du champ de Dirac et nous inspirer également de la quantification du champ de fermions non-relativiste (section 14.3).
Comme précédemment, nous adoptons une quantification des ondes planes
dans une boîte de volume V, ce volume auxiliaire devant disparaître de tout
résultat physique. Pour une valeur de
p donnée, nous avons 4 états de spin
possibles, auxquels nous allons associer pour les énergies positives 4 opérateurs d’annihilation b r ( p) et d r ( p) et leurs hermitiens conjugués b
†
r ( p) et d
†
r ( p)
pour les énergies négatives. Ces opérateurs obéissent aux relations d’anticommutation (rappelons qu’en raison du choix de la quantification dans une boîte,
les valeurs des impulsions sont discrètes)
{b r ( p),b
†
s ( p
′ )} = δ rs δ
p,, p ′ I
{d r ( p),d
†
s ( p
′ )} = δ rs δ
p,, p ′ I
(19.183)
tous les autres anticommutateurs étant nuls. La décomposition du champ
ψ(t, , x) en ondes planes est juste un peu plus compliquée que celle de la
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et pour les spineurs d’énergie négative
−
2
r=1
v
(r)
α ( 0)v
(r)
β ( 0) =
00
0 I
αβ
= −
1
2
(γ
0 − I) αβ
d’où pour
p =0(exercice 19.6.11)
2
r=1
u
(r)
α ( p)u
(r)
β ( p)=
p / + m
2m
αβ
=(Λ + ( p)) αβ
−
2
r=1
v
(r)
α ( p)v
(r)
β ( p)=−
p / − m
2m
αβ
=(Λ − ( p)) αβ
(19.181)
L’équation précédente définit deux pseudoprojecteurs Λ + ( p) et Λ − ( p) qui vérifient
Λ + +Λ − = I
Λ + Λ − =Λ − Λ + =0
Λ
2
± =Λ ±
(19.182)
Si
p =0, Λ + et Λ − sont hermitiens et sont effectivement des projecteurs. Ce
n’est pas le cas lorsque p =0car alors les Λ ± ne sont plus hermitiens mais
obéissent à
(Λ ± )
† = γ
0 Λ ± γ
0
19.5.2 Champ de Dirac quantifié
La quantification du champ de Dirac procède par analogie avec celle du
champ électromagnétique : le rôle des polarisations e s ( k) est joué par les spineurs de Dirac u
(r) ( p) et v
(r) ( p). Cependant, nous devons bien entendu tenir
compte du caractère fermionique du champ de Dirac et nous inspirer également de la quantification du champ de fermions non-relativiste (section 14.3).
Comme précédemment, nous adoptons une quantification des ondes planes
dans une boîte de volume V, ce volume auxiliaire devant disparaître de tout
résultat physique. Pour une valeur de
p donnée, nous avons 4 états de spin
possibles, auxquels nous allons associer pour les énergies positives 4 opérateurs d’annihilation b r ( p) et d r ( p) et leurs hermitiens conjugués b
†
r ( p) et d
†
r ( p)
pour les énergies négatives. Ces opérateurs obéissent aux relations d’anticommutation (rappelons qu’en raison du choix de la quantification dans une boîte,
les valeurs des impulsions sont discrètes)
{b r ( p),b
†
s ( p
′ )} = δ rs δ
p,, p ′ I
{d r ( p),d
†
s ( p
′ )} = δ rs δ
p,, p ′ I
(19.183)
tous les autres anticommutateurs étant nuls. La décomposition du champ
ψ(t, , x) en ondes planes est juste un peu plus compliquée que celle de la