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Physique quantique : Exercices et applications
Les spineurs ˆ
u
(r) correspondent à des solutions d’énergie positive ε n =+1et
les spineurs ˆ
v
(r) à des solutions d’énergie négative ε n = −1. Pour une valeur
arbitraire de
p, nous observons que
(p / − m)(p / + m)=p
2 − m
2 =0
de sorte que l’on peut écrire
u
(r) ( p)=N (p / + m)ˆ u
(r) ( 0)
v
(r) ( p)=−N
′ (p / − m)ˆ v
(r) ( 0)
(19.176)
où N et N
′ sont des constantes de normalisation. Si l’on veut une forme
explicite de ces solutions, il suffit d’écrire p / dans la base de Dirac
p / =
E p − σ · p
σ ·
p −E p
(19.177)
et d’introduire les deux spineurs de Pauli χ
(1) et χ
(2)
χ
(1) =
1
0
χ
(2) =
0
1
(19.178)
On obtient alors les spineurs u et v sous la forme
´
Energie > 0:u
(r) ( p)=
1
2m(E p + m)
(E p + m)χ
(r)
( σ ·
p)χ
(r)
´
Energie < 0:v
(r) ( p)=
1
2m(E p + m)
⎛
⎝
( σ · p)χ
(r)
(E p + m)χ
(r)
⎞
⎠
(19.179)
Dans (19.179), la constante de normalisation a été fixée par N = N
′ =
[2m(E p + m)]
1/2 de telle sorte que
u
(r) ( p) u
(s) ( p)=δ rs
v
(r) ( p) v
(s) ( p)=−δ rs
u
(r) ( p) v
(s) ( p)=0
(19.180)
On remarquera le signe (−) dans la normalisation des spineurs d’énergie négative v : d’après (19.175), lorsque
p =0, γ
0 =+1pour les spineurs d’énergie
positive, γ
0 = −1 pour les spineurs d’énergie négative, et ceci se généralise au
cas p =0. En plus des relations d’orthogonalité (19.180), nous aurons besoin
des relations de fermeture. Dans un référentiel où p =0, nous avons pour les
spineurs d’énergie positive
2
r=1
u
(r)
α ( 0)u
(r)
β ( 0) =
I 0
00
αβ
=
1
2
(γ
0 + I) αβ